Teorema de representación de Skorokhod
En la teoría de la probabilidad , el teorema de representación de Skorokhod muestra que una secuencia de variables aleatorias que convergen en la ley siempre puede, en cierto sentido, ser representada por una secuencia de variables aleatorias que convergen casi con seguridad. Este teorema lleva el nombre del matemático ucraniano A.V. Skorokhod .
Estados
Ser una secuencia de variables aleatorias con valores en un espacio topológico de Lusin . Supongamos que converge en la ley a una variable aleatoria con valores en cuando . Luego existe un espacio probabilizado y variables aleatorias , definidas en este espacio probabilizado como:
(Xno)no≥1{\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 1}}
S{\ Displaystyle S}
Xno{\ Displaystyle X_ {n}}
X{\ Displaystyle X}
S{\ Displaystyle S}no→+∞{\ Displaystyle n \ to + \ infty}
(Ω,A,PAG){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}
Yno{\ Displaystyle Y_ {n}}
Y{\ Displaystyle Y}
(Ω,A,PAG){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}
- para cada número entero , y tienen la misma ley;no{\ Displaystyle n}
Yno{\ Displaystyle Y_ {n}}Xno{\ Displaystyle X_ {n}}
- variables aleatorias y tienen la misma ley;Y{\ Displaystyle Y}X{\ Displaystyle X}
-
Yno{\ Displaystyle Y_ {n}}casi seguramente converge a .(Ω,A,PAG)-{\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}) -}
Y{\ Displaystyle Y}
Demostración en el caso real
En esta sección, asumimos que es la línea real . Tenga en cuenta la función de distribución de , y denote la función de distribución de , y consideramos recíproco generalizado de y definido, para en , para
S{\ Displaystyle S}Fno{\ Displaystyle F_ {n}}
Xno{\ Displaystyle X_ {n}}F{\ Displaystyle F}
X{\ Displaystyle X}F{\ Displaystyle F}Fno{\ Displaystyle F_ {n}}ω{\ Displaystyle \ omega}
]0,1[{\ Displaystyle] 0,1 [}![] 0,1 [](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a83a50a400fb17f0c9abe6e674c6526a7b0e1)
Y(ω)=inf{X∈R | F(X)≥ω},yYno(ω)=inf{X∈R | Fno(X)≥ω}.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} Y (\ omega) & = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}, \\ {\ textrm {et}} & \ quad \\ Y_ {n} (\ omega) & = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F_ {n} (x) \ geq \ omega \ right \}. \ end {alineado}}}
Además, posamos
Z(ω)=inf{X∈R | F(X)>ω}yVS = {ω∈]0,1[|Y(ω)<Z(ω)}.{\ Displaystyle Z (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x)> \ omega \ right \} \ quad {\ textrm {et}} \ quad C \ = \ \ left \ {\ omega \ in] 0,1 [\, | \, Y (\ omega) <Z (\ omega) \ right \}.}![{\ Displaystyle Z (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x)> \ omega \ right \} \ quad {\ textrm {et}} \ quad C \ = \ \ left \ {\ omega \ in] 0,1 [\, | \, Y (\ omega) <Z (\ omega) \ right \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b963c76485296371bece9846e99163b49053b3a8)
La idea es que la convergencia de versos conduce a la convergencia de los correspondientes recíprocos generalizados:
Fno{\ Displaystyle F_ {n}}F{\ Displaystyle F}
Lemma - es como mucho contable .
VS{\ Displaystyle C}
Demostración
De hecho, si entonces es constante en el intervalo igual a en Si, además, y luego, por crecimiento de , de modo que los intervalos y son disjuntos y no vacíos. Si elegimos arbitrariamente un racional en cada intervalo no vacío, definimos así un mapa estrictamente creciente de in : por lo tanto inyectivo. Se establece así una biyección entre y una parte deω1∈VS,{\ Displaystyle \ omega _ {1} \ in C,}
F{\ Displaystyle F}I(ω1) = ]Y(ω1),Z(ω1)[, {\ Displaystyle I (\ omega _ {1}) \ = \] Y (\ omega _ {1}), \, Z (\ omega _ {1}) [, \}![{\ Displaystyle I (\ omega _ {1}) \ = \] Y (\ omega _ {1}), \, Z (\ omega _ {1}) [, \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df038e6dfa9d1c6d4efbf09871559891b8469ccd)
ω1{\ Displaystyle \ omega _ {1}}
I(ω1).{\ Displaystyle I (\ omega _ {1}).}
ω2∈VS,{\ Displaystyle \ omega _ {2} \ in C,}
ω2>ω1,{\ Displaystyle \ omega _ {2}> \ omega _ {1},}
F{\ Displaystyle F}Z(ω1)≤Y(ω2),{\ Displaystyle Z (\ omega _ {1}) \ leq Y (\ omega _ {2}),}
I(ω1){\ Displaystyle I (\ omega _ {1})}
I(ω2){\ Displaystyle I (\ omega _ {2})}
r(ω){\ Displaystyle r (\ omega)}
I(ω){\ Displaystyle I (\ omega)}
r{\ Displaystyle r}
VS{\ Displaystyle C}Q,{\ Displaystyle \ mathbb {Q},}
r(ω1) < r(ω2),{\ Displaystyle r (\ omega _ {1}) \ <\ r (\ omega _ {2}),}
r{\ Displaystyle r}VS{\ Displaystyle C}Q.{\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}
Lema - Paraω∉VS,{\ Displaystyle \ omega \ notin C,}
limnoYno(ω) = Y(ω).{\ Displaystyle \ lim _ {n} Y_ {n} (\ omega) \ = \ Y (\ omega).}
Demostración
De hecho, porque tenemos
ω∉VS,{\ Displaystyle \ omega \ notin C,}
{Y(ω)<z}⇒{ω<F(z)},{\ Displaystyle \ {Y (\ omega) <z \} \ Rightarrow \ {\ omega <F (z) \},}
ya que, por todo lo que tenemos , sabemos que el conjunto de puntos de discontinuidades de es como mucho contable y que, para de ,
ω∈]0,1[, {\ Displaystyle \ omega \ in] 0.1 [, \}![{\ Displaystyle \ omega \ in] 0.1 [, \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64dccf2776aaa222983bf6742919c7faca2f1395)
{Z(ω)<z}⇒{ω<F(z)}.{\ Displaystyle \ {Z (\ omega) <z \} \ Rightarrow \ {\ omega <F (z) \}.}
D{\ Displaystyle D}
F{\ Displaystyle F}X{\ Displaystyle x}
D{\ Displaystyle D}
limnoFno(X) = F(X).{\ Displaystyle \ lim _ {n} F_ {n} (x) \ = \ F (x).}
Así, para todo podemos encontrar Para esta elección de por tanto, a partir de un cierto rango, y, en consecuencia, deducimos que para todoε>0,{\ Displaystyle \ varepsilon> 0,}
z∈Dvs∩]Y(ω),Y(ω)+ε[. {\ Displaystyle z \ in D ^ {c} \ cap] Y (\ omega), Y (\ omega) + \ varepsilon [. \}![{\ Displaystyle z \ in D ^ {c} \ cap] Y (\ omega), Y (\ omega) + \ varepsilon [. \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d76ea26fda4e1385a0045bc6b37c3de43a0e02d)
z{\ Displaystyle z}
limnoFno(z) = F(z),{\ Displaystyle \ lim _ {n} F_ {n} (z) \ = \ F (z),}
{ω<Fno(z)},{\ Displaystyle \ {\ omega <F_ {n} (z) \},}
{Yno(ω)≤z}.{\ Displaystyle \ {Y_ {n} (\ omega) \ leq z \}.}
ε>0,{\ Displaystyle \ varepsilon> 0,}
lim supnoYno(ω) < Y(ω)+ε,{\ Displaystyle \ limsup _ {n} Y_ {n} (\ omega) \ <\ Y (\ omega) + \ varepsilon,}
lo que provoca
lim supnoYno(ω) ≤ Y(ω).{\ Displaystyle \ limsup _ {n} Y_ {n} (\ omega) \ \ leq \ Y (\ omega).}
Además, porque tenemos Pero, para todo lo que podemos encontrar Para esta elección de , por lo tanto, de un cierto rango, y, en consecuencia, deducimos que para todosω∈]0,1[,{\ Displaystyle \ omega \ in] 0,1 [,}![{\ Displaystyle \ omega \ in] 0,1 [,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbc4affbd46deb90eca469e7c38c4186736b12b)
{Y(ω)>y}⇒{ω>F(y)}.{\ Displaystyle \ {Y (\ omega)> y \} \ Flecha derecha \ {\ omega> F (y) \}.}
ε>0, {\ Displaystyle \ varepsilon> 0, \}
y∈Dvs∩]Y(ω)-ε,Y(ω)[.{\ Displaystyle y \ in D ^ {c} \ cap] Y (\ omega) - \ varepsilon, Y (\ omega) [.}![{\ Displaystyle y \ in D ^ {c} \ cap] Y (\ omega) - \ varepsilon, Y (\ omega) [.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fb7f27e6a1b789d2eac440f43148e33856875c)
y{\ Displaystyle y}
limnoFno(y) = F(y),{\ Displaystyle \ lim _ {n} F_ {n} (y) \ = \ F (y),}
{ω>Fno(y)},{\ Displaystyle \ {\ omega> F_ {n} (y) \},}
{Yno(ω)≥y}.{\ Displaystyle \ {Y_ {n} (\ omega) \ geq y \}.}
ε>0,{\ Displaystyle \ varepsilon> 0,}
lim infnoYno(ω) > Y(ω)-ε,{\ Displaystyle \ liminf _ {n} Y_ {n} (\ omega) \> \ Y (\ omega) - \ varepsilon,}
lo que provoca
lim infnoYno(ω) ≥ Y(ω).(CQFD){\ Displaystyle \ liminf _ {n} Y_ {n} (\ omega) \ \ geq \ Y (\ omega). \ quad {\ textrm {(CQFD)}}}
Concluimos observando, usando el teorema inverso , que y tienen la misma ley, pero también que y tienen la misma ley.
Yno{\ Displaystyle Y_ {n}}Xno{\ Displaystyle X_ {n}}Y{\ Displaystyle Y}X{\ Displaystyle X}
Ver también
Referencias
-
(en) LCG Rogers (en) y David Williams (en) , retransmisiones, Procesos de Markov, Martingalas y , vuelo. 1: Fundaciones , Cambridge, CUP , coll. "Biblioteca de matemáticas de Cambridge",1 st de mayo de el año 2000, 2 nd ed. , 406 p. ( ISBN 0-521-77594-9 y 978-0521775946 ) , cap. 6 (“Medidas de probabilidad en espacios de Lusin, sección 86: La representación de Skorokhod de la convergencia de Cb (S) en Pr (S)”) , p. 215-216.
-
(en) Patrick Billingsley (de) , Convergencia de medidas de probabilidad , Nueva York, John Wiley & Sons, Inc.,1999, 277 p. ( ISBN 0-471-19745-9 ) , pág. 70.