Teorema del cojinete

El siguiente teorema del cojinete es un caso especial del teorema general del cojinete de trayectoria , aplicado a la cobertura del círculo por una línea recta , visto como la parametrización privilegiada del círculo unitario del plano complejo ,

pag:R→S1,t↦miIt.{\ Displaystyle p: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}, \ quad t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} t}.}

Al llamar a path cualquier aplicación continua en el intervalo real [0, 1]:

Para cualquier camino γ en S 1 y cualquier elección de un t 0 real tal que γ (0) = p ( t 0 ), existe un camino y solo un Γ en ℝ tal que

γ=pag∘ΓmitΓ(0)=t0.{\ Displaystyle \ gamma = p \ circ \ Gamma \ quad {\ rm {y}} \ quad \ Gamma (0) = t_ {0}.}

Entonces decimos que Γ es un camino de origen t 0 que cae γ .

Complementos

• Dos cojinetes de γ se diferencian por un múltiplo entero de 2 π .
• El resultado se extiende a una aplicación en cualquier segmento real (por cambio de variable ) y luego en cualquier intervalo real (aumentando la unión de segmentos).
• Si f es un mapa continuo de un intervalo I en ℂ * , podemos ponerlo en forma polar aplicando el teorema a γ: = f / | f | . Así obtenemos un mapa continuo θ de I a ℝ tal que∀X∈IF(X)=|F(X)|miIθ(X){\ Displaystyle \ forall x \ in I \ quad f (x) = | f (x) | {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta (x)}}y si f es de clase C k entonces θ también.

Demostración

Caso general

Tenga en cuenta primero que:

• para cualquier punto x de [0, 1] y cualquier t real tal que γ ( x ) = p ( t ), existe una "elevación local de γ  " (definida y continua en una vecindad de x en [0, 1] ) tomando x el valor t  : basta elegir una vecindad en la que γ no alcance el valor - γ ( x ) y utilizar que p es un homeomorfismo de] t - π , t + π [en el círculo privado de el punto - γ ( x );
• si dos marcaciones locales de γ , definidas respectivamente en dos subintervalos J 1 y J 2 de [0, 1], coinciden en un punto común, entonces su diferencia es cero en todo el intervalo J 1 ∩ J 2 según el teorema de valores intermedios , ya que es cero en este punto y solo puede tomar para valores múltiplos enteros de 2π .

El conjunto J de números reales x de [0, 1] para el que γ tiene en [0, x ] un rumbo original t 0 es, por tanto, un subintervalo de [0, 1] de la forma [0, c [o [ 0, c ] y γ tiene en J un rumbo único Γ de origen t 0 .

Queda por demostrar que J = [0, 1]. Sea Γ ' una elevación local de γ en un intervalo J' en la vecindad de c en [0, 1]. En un punto arbitrario de J ∩ J ' , esta elevación Γ' , incluso si significa agregar un múltiplo adecuado de 2π , coincide con Γ  ; luego coincide en J ∩ J ' , lo que hace posible extender Γ en un rumbo en J ∪ J' . Por maximalidad, J contiene por tanto a J ' . Por lo tanto, J es un barrio en [0, 1] su extremo C , lo que demuestra que c es igual a 1 y se encuentra en J .

Si la aplicación es de clase C k

Asumimos con . Luego por análisis-síntesis, si , necesariamente tenemos:, lo que implica eso . Luego comprobamos que define una elevación de y que es de clase activada . γ∈VSk(I,S1){\ Displaystyle \ gamma \ en C ^ {k} (I, S ^ {1})}k∈NO∗{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ=pag∘θ{\ Displaystyle \ gamma = p \ circ \ theta}{γ′=θ′×(pag∘θ)=θ′×γθ(0)=t0{\ Displaystyle {\ begin {cases} \ gamma '= \ theta' \ times \ left (p \ circ \ theta \ right) = \ theta '\ times \ gamma \\\ theta \ left (0 \ right) = t_ {0} \ end {cases}}}θ:t↦t0+∫0tγ′γ{\ Displaystyle \ theta: t \ mapsto t_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ gamma '} {\ gamma}}}θ{\ Displaystyle \ theta}γ{\ Displaystyle \ gamma}VSk{\ Displaystyle C ^ {k}}I{\ Displaystyle I}

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