Teorema de modularidad
El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Weil o conjetura de Shimura-Taniyama-Weil o conjetura de Shimura-Taniyama ) establece que, para cualquier curva elíptica en ℚ, existe una forma modular de peso 2 para un subgrupo de congruencia Γ 0 ( N ), que tiene la misma función L que la curva elíptica.
Gran parte de este resultado, suficiente para deducir el último teorema de Fermat , ha sido demostrado por Andrew Wiles . Basándose en sus técnicas, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor trataron los casos restantes en 1999.
Este teorema es un caso muy particular de conjeturas formuladas por Robert Langlands que vinculan patrones y representaciones automórficas .
Estados
La (parte afín de a) curva elíptica E definida en ℚ (el campo de los números racionales ) viene dada por una ecuación del tipo
donde los coeficientes son números enteros. Podemos elegir una ecuación tan mínima (es decir, el discriminante es mínimo).
Si p es un número primo , podemos reducir módulo p los coeficientes de esta ecuación mínima que define E ; para todos los valores de p excepto un número finito, la ecuación reducida define una curva elíptica sobre el campo finito F p . La ecuación reducida tiene n p soluciones. Entonces se puede considerar el resultado fue p = p - n p que es un invariante importante de la curva elíptica E .
Además, una forma modular también da lugar a una serie de coeficientes. Una curva elíptica tal que la secuencia de a p concuerda con la obtenida de una forma modular se llama modular . El teorema de modularidad predice que:
“Todas las curvas elípticas de ℚ son modulares . "Su historia
Una versión débil se pronunció por Yutaka Taniyama enSeptiembre de 1955, durante una sesión de problemas en una conferencia en Tokio : preguntó si era posible encontrar una forma cuya transformada de Mellin daría la función L de Hasse-Weil de la curva elíptica. En una serie de artículos, Gorō Shimura construyó para cada forma modular dotada de buenas propiedades (en particular de peso 2 y con coeficientes racionales) una curva elíptica adecuada, es decir, estableció la mitad del diccionario entre "Elíptica" y "modular". Taniyama se suicidó en 1958.
Esta conjetura fue reformulada por André Weil en la década de 1960, cuando mostró que la modularidad resultaría de propiedades simples en las funciones L de Hasse-Weil. Esta formulación hizo la conjetura más convincente, y el nombre de Weil estuvo asociado con ella durante mucho tiempo, a veces exclusivamente. También se convirtió en un componente importante del programa Langlands .
En la década de 1960, Yves Hellegouarch había estudiado las propiedades de las curvas elípticas asociadas con contraejemplos del último teorema de Fermat . Recuperación en la década de 1980 por Gerhard Frey , y especificada (en) por Jean-Pierre Serre , esta idea permitió a Ken Ribet demostrar que el Shimura-Taniyama-Weil para estas curvas "de Hellegouarch-Frey" implicaba el Último Teorema de Fermat. En 1994, Andrew Wiles , con la ayuda de su antiguo alumno Richard Taylor , demostró un caso especial de la conjetura (el caso de semi-estables curvas elípticas ), lo cual fue suficiente para la demostración del último teorema de Fermat.
La conjetura completa fue finalmente demostrada en 1999 por Breuil, Conrad, Diamond y Taylor basándose en las ideas de Wiles.
De esto podemos deducir un cierto número de resultados en línea con el último teorema de Fermat. Por ejemplo: "ningún cubo es la suma de dos n-ésimas potencias que son primos entre sí con n ≥ 3".
En Marzo de 1996, Wiles compartió el Premio Wolf con Robert Langlands . Aunque ninguno de ellos demostró la conjetura completa, se reconoció que habían establecido los resultados clave que llevaron a su demostración.
La conjetura de La Serre (en) "nivel 1", que a su vez había demostrado que conduciría a Shimura-Taniyama-Weil (directamente) al último teorema de Fermat, fue demostrada en 2005 por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger basándose en el trabajo de Wiles . Demostraron el caso general en 2008.
Apéndices
Notas
- Por tanto, la curva elíptica reducida tiene n p + 1 puntos, contando el punto en el infinito.
- Más precisamente que las funciones L de una familia de curvas elípticas deducidas de la inicial admitirían una continuación analítica a todo el plano complejo y verificarían una ecuación funcional que vincule sus valores en sy sus valores en 2-s , véase A Weil, Collected Papers , vol. 3, pág. 165. Tales propiedades, análogas a las de la función zeta de Riemann, se esperaban para todas las funciones L.
- El matemático Serge Lang lideró una activa campaña en el momento de la prueba de Wiles para eliminar el nombre de Weil del enunciado de la conjetura, para ver su artículo en la Gaceta de los matemáticos así como las referencias en el mismo. Una presentación mesurada del papel de cada uno se puede encontrar en la presentación de Jean-Pierre Serre a Bourbaki en 1994.
Referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Teorema de modularidad " ( ver la lista de autores ) .- (in) Alvaro Lozano-Robledo , Curvas elípticas, formas modulares y sus funciones L , AMS ,2011( leer en línea ) , pág. 140
- Ver la presentación de Serre citada anteriormente y, para más detalles, Yves Hellegouarch , Invitación a las matemáticas de Fermat-Wiles [ detalle de ediciones ]
Bibliografía
- (en) Henri Darmon , “Se anuncia una prueba de la conjetura completa de Shimura-Taniyama-Weil” , en Notices Amer. Matemáticas. Soc. , Vuelo. 46, n ° 11, 1999Contiene una agradable introducción al teorema y un bosquejo de la demostración.
- (en) Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor, “ Modularidad de ciertas representaciones potencialmente de Barsotti-Tate Galois ”, en JAMS , vol. 12, 1999, pág. 521–567Para curvas elípticas cuyo conductor no es divisible por 27, es decir, que son moderadas en 3.
- (en) Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor, “ Sobre la modularidad de las curvas elípticas sobre Q : ejercicios 3-ádicos salvajes ”, en JAMS , vol. 14, n ° 4, 2001, pág. 843-939