Teorema de Noether (física)

Tomemos primero el caso de una partícula libre, por lo que tenemos el Lagrangiano

L=12metroq→˙2{\ Displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2}}

invariante por traducción. Podemos ver claramente aquí que si cambiamos el origen de las coordenadas, eso no modificará la física de nuestra partícula libre. Por tanto, el lagrangiano es invariante por la transformación de traducción

con los componentes del vector que describe la traducción. Vemos aquí que tenemos, para una traslación infinitesimal de un vector , una variación de nuestras coordenadas generalizadas que es válida . Por tanto, las cantidades conservadas asociadas con esta transformación son αI{\ Displaystyle \ alpha _ {i}}δα→=δαImi→I{\ Displaystyle {\ vec {\ delta \ alpha}} = \ delta \ alpha _ {i} {\ vec {e}} _ {i}}δqI=q~I-qI=δαI{\ Displaystyle \ delta q_ {i} = {\ tilde {q}} _ {i} -q_ {i} = \ delta \ alpha _ {i}}

II=∑j∂L∂q˙j∂qj∂αI=∑j∂L∂q˙jδIj=metroq˙I=pagI{\ Displaystyle I_ {i} = \ sum _ {j} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} {\ frac {\ parcial q_ {j}} { \ parcial \ alpha _ {i}}} = \ suma _ {j} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} \ delta _ {ij} = m { \ dot {q}} _ {i} = p_ {i}} con el delta de Kronecker , encontramos las componentes del vector de impulso. δIj{\ Displaystyle \ delta _ {ij}} Momento cinematográfico

Consideremos ahora el caso de un sistema invariante por rotación, tomemos por ejemplo una partícula colocada en un potencial central , entonces tenemos . Siendo el sistema invariante por rotación (la norma de velocidad es invariante por rotación), parece relevante colocarlo en coordenadas esféricas, entonces tenemos Φ(r){\ Displaystyle \ Phi (r)}L=12metroq→˙2-Φ(r){\ Displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2} - \ Phi (r)}

L=metro2(r˙2+r2θ˙2+r2pecado2⁡(θ)ϕ˙2)-Φ(r).{\ Displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) - \ Phi (r).}

La transformación asociada con la rotación en coordenadas esféricas se puede escribir como , con y los dos ángulos que caracterizan la transformación. Por tanto, para una transformación infinitesimal tenemos y . Por tanto, podemos ver aquí que las dos cantidades conservadas serán (r,θ,ϕ)→(r,θ~=θ+χ,ϕ~=ϕ+ψ){\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (r, {\ tilde {\ theta}} = \ theta + \ chi, {\ tilde {\ phi}} = \ phi + \ psi)}χ{\ Displaystyle \ chi}ψ{\ Displaystyle \ psi}δθ=δχ{\ Displaystyle \ delta \ theta = \ delta \ chi}δϕ=δψ{\ Displaystyle \ delta \ phi = \ delta \ psi}

Iθ=∂L∂θ˙∂θ∂χ=metror2θ˙mitIϕ=∂L∂ϕ˙∂ϕ∂ψ=metror2pecado2⁡(θ)ϕ˙{\ Displaystyle I _ {\ theta} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {\ theta}}}} {\ frac {\ parcial \ theta} {\ parcial \ chi}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ qquad \ mathrm {et} \ qquad I _ {\ phi} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ phi}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ psi}} = señor ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}}} es decir las dos componentes angulares del momento angular multiplicadas por la masa. Sin embargo, tenga cuidado con los índices, tenemos y , y por supuesto, tenemos por definición el producto cruzado. L→=r→×v→{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}}Iθ=metroLϕ{\ Displaystyle I _ {\ theta} = mL _ {\ phi}}Iϕ=metroLθ{\ Displaystyle I _ {\ phi} = mL _ {\ theta}}Lr=0{\ Displaystyle L_ {r} = 0} Energía

Si fue esta vez un sistema es invariante en el tiempo, no es entonces una función de Lagrange, que es independiente del tiempo , . La transformación es aquí una traducción en el tiempo, y se traduce para las coordenadas temporales porL(t+δt)=L(t){\ Displaystyle L (t + \ delta t) = L (t)}∂tL=0{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} L = 0}

lo que conduce a la cantidad retenida

I=∑I∂L∂qI˙∂qI∂t.{\ estilo de visualización I = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q_ {i}}}}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial t} }.} También se conserva el Lagrangiano, tenemos la cantidad total

H=∑I∂L∂q˙Iq˙I-L{\ Displaystyle H = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} -L}

que se conserva, pero no es otra cosa que el hamiltoniano del sistema. Por tanto, el hamiltoniano (energía) se conserva para sistemas (explícitamente) independientes del tiempo.

Teoría de campo clásica

El teorema de Noether también es válido en la teoría de campos clásica donde el Lagrangiano es reemplazado por una densidad Lagrangiana que depende de los campos en lugar de las variables dinámicas. La formulación del teorema sigue siendo más o menos la misma:

Teorema de Noether  :  cualquier transformación infinitesimal que deje invariante la densidad lagrangiana de un sistema hasta una cuadridivergencia corresponde a una cantidad conservada.

Es decir una densidad lagrangiana donde denota una dependencia de la densidad lagrangiana de los campos escalares (la prueba se puede generalizar a los campos vectoriales o tensoriales) ( ) y de sus diversas derivadas parciales en el espacio y en el tiempo ( es el operador de la derivada comparada a en el índice, es decir :) . Cada campo depende de una variable de espacio-tiempo única donde representa el tiempo y representa una de las tres variables de espacio con . Según el principio de acción mínima , la integral de acción debe ser estacionaria: L=L[φI(X),∂μφI(X),X]{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}[φI(X),∂μφI(X),X]{\ Displaystyle [\ varphi _ {i} (x), \ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}NO{\ Displaystyle N}φI(X){\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x)}I=1,...,NO{\ Displaystyle i = 1, ..., N}∂μ{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu}}μ∈{0,...,3}{\ Displaystyle \ mu \ in \ {0, ..., 3 \}}∂μ≡∂∂Xμ{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ equiv {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {\ mu}}}}X≡(X0,...,X3){\ Displaystyle x \ equiv (x ^ {0}, ..., x ^ {3})}X0{\ Displaystyle x ^ {0}}Xj{\ Displaystyle x ^ {j}}j=1,...,3{\ Displaystyle j = 1, ..., 3}S[φI(X)]{\ Displaystyle S [\ varphi _ {i} (x)]}

S≡∫L[φI(X),∂μφI(X),X]D4X{\ Displaystyle S \ equiv \ int {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x] d ^ {4} X}

δS=0.{\ Displaystyle \ delta S = 0.}

Este principio de acción estacionaria conduce directamente a las ecuaciones de Euler-Lagrange en la teoría de campos:

∂μ(∂L∂(∂μφI))-∂L∂φI=0{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ varphi _ {i}}} = 0}

donde se utiliza aquí la convención de Einstein sobre índices repetidos. Sea una transformación infinitesimal de uno de los campos donde representa la deformación del campo y es un parámetro infinitesimal (la demostración se puede generalizar fácilmente con una deformación de varios campos al mismo tiempo). Si la densidad lagrangiana es invariante excepto por una cuadrivergencia bajo esta transformación infinitesimal, es decir que: φI(X)→φI′(X)=φI(X)+αΔφI(X){\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) \ rightarrow \ varphi _ {i} '(x) = \ varphi _ {i} (x) + \ alpha \ Delta \ varphi _ {i} (x)}ΔφI(X){\ Displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} (x)}α{\ Displaystyle \ alpha}

L→L+αΔL=L+α∂μJμ(X){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} + \ alpha \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x)}

para una determinada función . Luego, comparando los términos con el primer orden de la expansión de Taylor de la densidad lagrangiana: Jμ{\ Displaystyle J ^ {\ mu}}

αΔL=∂L∂φI(αΔφI)+(∂L∂(∂μφI))∂μ(αΔφI)=α∂μ(∂L∂(∂μφI)ΔφI)+α[∂L∂φI-∂μ(∂L∂(∂μφI))]ΔφI.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} & = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ varphi _ {i}}} (\ alpha \ Delta \ varphi _ {i}) + \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ derecha) \ parcial _ {\ mu} (\ alpha \ Delta \ varphi _ {i}) \\ & = \ alpha \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ derecha) + \ alpha \ izquierda [{\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ varphi _ {i}}} - \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ derecha) \ derecha] \ Delta \ varphi _ {i}. \ end {alineado}}}

El segundo término es nulo porque actúa de la ecuación de Euler-Lagrange para el campo . Por lo tanto, finalmente, por comparación directa: φI{\ Displaystyle \ varphi _ {i}}

∂μJμ(X)=∂μ(∂L∂(∂μφI)ΔφI){\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x) = \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ right)}

Por tanto, la cantidad retenida del sistema es la siguiente:

jμ≡Jμ(X)-∂L∂(∂μφI)ΔφI{\ Displaystyle j ^ {\ mu} \ equiv J ^ {\ mu} (x) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ { i})}} \ Delta \ varphi _ {i}}

porque

∂μjμ=0.{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0.}

Invarianza de calibre y segundo teorema de Noether

Generalmente consideramos para cualquier densidad lagrangiana

cuya acción asociada debe ser estacionaria para cualquier transformación infinitesimal de los campos de acuerdo con el Principio de Hamilton . Entonces tenemos

δS=∫D4X[∂L∂ψIδψI+∂L∂(∂μψI)δ∂μψI]=∫D4X[(∂L∂ψI-∂μ∂L∂(∂μψI))δψI+∂μ(∂L∂(∂μψI)δψI)]=0{\ Displaystyle \ delta S = \ int d ^ {4} x \; \ left [{\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi _ {i}}} \ delta \ psi _ {i} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i} \ right] = \ int d ^ {4} x \; \ left [\ left ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi _ {i}}} - \ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ derecha) \ delta \ psi _ {i } + \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ right) \ right] = 0}

donde usamos la convención de Einstein para la suma de índices repetidos, y donde dejamos de lado las posibles transformaciones del espacio-tiempo (tomamos ). Por tanto, vemos que podemos reformular este resultado de forma general como δXμ=0{\ Displaystyle \ delta x ^ {\ mu} = 0}

[ψ]IDψI=-∂μ(∂L∂(∂μψI)δψI),[ψ]I=∂L∂ψI-∂μ∂L∂(∂μψI){\ Displaystyle [\ psi] _ {i} d \ psi _ {i} = - \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ derecha), \ qquad [\ psi] _ {i} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} } {\ parcial \ psi _ {i}}} - \ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i })}}}

con por lo tanto representando las

[ψ]I{\ Displaystyle [\ psi] _ {i}}

ψI{\ Displaystyle \ psi _ {i}}

Ahora estamos interesados ​​en una densidad lagrangiana invariante bajo una transformación de gauge, es decir, una transformación de campo local. En este caso veremos que esta vez aplicamos el segundo teorema de Noether.

Más precisamente, consideramos aquí una densidad lagrangiana invariante bajo un grupo de transformación de dimensión infinita y continuamente dependiente de funciones , grupo que notaremos . Vemos que en el caso de tal transformación, la variación infinitesimal de los campos en la ecuación anterior se descompone como ρ{\ Displaystyle \ rho}pagα(Xμ),α=1,...,ρ{\ Displaystyle p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}), \; \; \ alpha = 1, \; ..., \; \ rho}GRAMO∞ρ{\ Displaystyle G _ {\ infty \ rho}}δψI{\ Displaystyle \ delta \ psi _ {i}}

δψI=∑α[aαI(ψI,∂μψI,Xμ)Δpagα(Xμ)+BαIν(ψI,∂μψI,Xμ)∂νΔPAGα(Xμ)]{\ Displaystyle \ delta \ psi _ {i} = \ sum _ {\ alpha} \ left [a _ {\ alpha i} (\ psi _ {i}, \ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i} , x ^ {\ mu}) \ Delta p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) + b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} (\ psi _ {i}, \ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i}, x ^ {\ mu}) \ parcial _ {\ nu} \ Delta P _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) \ right]}

donde la notación denota el hecho de que consideramos un infinitesimal. Por tanto, vemos que podemos utilizar la ecuación anterior en forma integral para obtener Δpagα{\ Displaystyle \ Delta p _ {\ alpha}}pagα{\ Displaystyle p _ {\ alpha}}

∫D4X[ψ]I(aαIΔpagα+BαIν∂νΔpagα)=∫D4X(aαI[ψ]I-∂ν(BαIν[ψ]I))Δpagα+∫D4X∂ν(BαIν[ψ]I∂νΔpagα){\ Displaystyle \ int d ^ {4} x \, [\ psi] _ {i} \ left (a _ {\ alpha i} \ Delta p _ {\ alpha} + b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} \ parcial _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alpha} \ right) = \ int d ^ {4} x \, \ left (a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ parcial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ right) \ right) \ Delta p _ {\ alpha} + \ int d ^ { 4} x \, \ partial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ partial _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alpha} \ derecho)} ⟹∫D4X(aαI[ψ]I-∂ν(BαIν[ψ]I))Δpagα=-∫D4X∂μ(∂L∂(∂μψI)δψI+BαIμ[ψ]IΔpagα){\ Displaystyle \ Longrightarrow \ qquad \ int d ^ {4} x \ left (a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ partial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i } ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ right) \ right) \ Delta p _ {\ alpha} = - \ int d ^ {4} x \, \ partial _ {\ mu} \ left ( {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} + b _ {\ alpha i} ^ {\ mu} [\ psi] _ {i} \ Delta p _ {\ alpha} \ right)} sin embargo, vemos aquí que el segundo término de la segunda ecuación es un término de borde, y siendo las funciones arbitrarias, siempre podemos elegirlas para que este término se cancele. Luego obtenemos el segundo teorema de Noetherpagα{\ Displaystyle p _ {\ alpha}}

Teorema  :  si la acción S es invariante bajo un grupo de transformación, entonces hay relaciones . GRAMO∞ρ{\ Displaystyle G _ {\ infty \ rho}}ρ{\ Displaystyle \ rho}aαI[ψ]I-∂ν(BαIν[ψ]I)=0{\ Displaystyle a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ parcial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ derecha) = 0}

Ejemplo

Considere, por ejemplo, la densidad lagrangiana

L=(∂μ+IqAμ)ψ(∂μ+IqAμ)ψ∗-metro2ψψ∗-14FμνFμν{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = (\ parcial _ {\ mu} + iqA _ {\ mu}) \ psi (\ parcial ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {* } -m ^ {2} \ psi \ psi ^ {*} - {\ frac {1} {4}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu}} donde depende solo de las primeras derivadas de (al menos en el caso abeliano). Es invariante bajo la transformación de calibre local. Fμν{\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu}}Aμ{\ Displaystyle A _ {\ mu}}

ψ→ψ~=miIqθ(X)ψ,ψ∗→ψ~∗=mi-Iqθ(X)ψ∗,Aμ→A~μ=Aμ+∂μθ(X){\ displaystyle \ psi \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} = e ^ {iq \ theta (x)} \ psi, \ qquad \ psi ^ {*} \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} ^ {* } = e ^ {- iq \ theta (x)} \ psi ^ {*}, \ qquad A _ {\ mu} \ rightarrow {\ tilde {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ parcial _ {\ mu} \ theta (x)}

donde ve que aquí tenemos una única función continua en nuestro grupo de transformación, que hemos notado . Esta transformación corresponde en forma infinitesimal a pagα{\ Displaystyle p _ {\ alpha}}θ(X){\ Displaystyle \ theta (x)}

δψ=Iqδθψ,δψ∗=-Iqδθψ∗,δAμ=∂μθ{\ Displaystyle \ delta \ psi = iq \ delta \ theta \ psi, \ qquad \ delta \ psi ^ {*} = - iq \ delta \ theta \ psi ^ {*}, \ qquad \ delta A _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} \ theta} entonces tenemos aψ=Iqψ,aψ∗=-Iqψ,Bψ=Bψ∗aAμ=0,BAμν=δμν.{\ Displaystyle a _ {\ psi} = iq \ psi, \ qquad a _ {\ psi ^ {*}} = - iq \ psi, \ qquad b _ {\ psi} = b _ {\ psi ^ {*} } a_ {A_ {\ mu}} = 0, \ qquad b_ {A _ {\ mu}} ^ {\ nu} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu}.}

Deducimos que en el caso de esta densidad de Lagrangien tenemos la relación

[ψ]Iqψ+[ψ∗](-Iqψ∗)=∂μ([Aν]δνμ)=∂μ[Aμ].{\ Displaystyle [\ psi] iq \ psi + [\ psi ^ {*}] (- iq \ psi ^ {*}) = \ partial _ {\ mu} \ left ([A _ {\ nu}] \ delta _ {\ nu} ^ {\ mu} \ derecha) = \ parcial _ {\ mu} [A _ {\ mu}].}

Entonces vemos aquí que si las ecuaciones de movimiento se satisfacen para los dos campos de masa y entonces tenemos ψ{\ Displaystyle \ psi}ψ∗{\ Displaystyle \ psi ^ {*}}

∂μ(∂L∂Aμ-∂ν∂L∂(∂νAμ))=0{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial A _ {\ mu}}} - \ parcial _ {\ nu} {\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ derecha) = 0}

o sabiendo que tenemos y deducimos que aquí se conserva la corriente . Esto implica, en particular, que es completamente antisimétrico y, por tanto, construido a partir de . ∂L∂Aμ=0{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial A _ {\ mu}}} = 0}∂L∂(∂νAμ)=Fμν{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} = F ^ {\ mu \ nu}}Jμ=∂νFμν{\ Displaystyle J ^ {\ mu} = \ parcial _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}}Fμν{\ Displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}∂μAν-∂νAμ{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu}}

Asimismo si, por el contrario, imponemos que se satisfagan las ecuaciones del electromagnetismo, es decir , obtenemos la ecuación de conservación de la corriente eléctrica quadri habitual [Aμ]=0{\ displaystyle [A _ {\ mu}] = 0}

∂μjμ=0,jμ=Iq(ψ∗(∂μ+IqAμ)ψ-ψ(∂μ+IqAμ)ψ∗).{\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0, \ qquad j ^ {\ mu} = iq \ left (\ psi ^ {*} (\ partial ^ {\ mu} + iqA ^ { \ mu}) \ psi - \ psi (\ partial ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {*} \ right).}

Simetrías internas

Notas y referencias

1. .
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3. (en) Herbert Goldstein , Mecánica clásica , p.  589.
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Ver también

Bibliografía

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