Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli , que fue establecido en 1738 por Daniel Bernoulli es la formulación matemática del Principio de Bernoulli que establece que en el flujo de un fluido homogéneo e incompresible sujeto solo a las fuerzas de presión y la gravedad, la aceleración ocurre simultáneamente con la disminución de la presión . En un flujo de fluido sin viscosidad y en el que una diferencia de presión es la única fuerza de aceleración, la velocidad es equivalente a la dada por las leyes de movimiento de Newton . Es muy común que se cite el efecto Bernoulli para afirmar que un cambio en la velocidad provoca un cambio en la presión; sin embargo, el principio de Bernoulli no establece esta conexión y no lo es.

Él sentó las bases de la dinámica de fluidos y, más en general, de la mecánica de fluidos . Inicialmente utilizado para fluidos que circulan en una tubería, ha encontrado un importante campo de aplicación en aerodinámica ( elevación ).

Formulación habitual

Por un flujo

incompresible (la densidad permanece constante),
de un fluido perfecto ( los efectos viscosos son insignificantes, al igual que las caídas de presión ).

Entonces, en modo estacionario, si se descuidan las transferencias de energía en forma de calor , se comprueba la siguiente igualdad:

En la misma línea de la corriente , se conserva la cantidad de Bernoulli, a saber:

{\ Displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {constante}}

o :

p

es la presión en un punto (en Pa o N / m²);

ρ

es la densidad en un punto (en kg / m³);

v

es la velocidad del fluido en un punto (en m / s);

g

es la aceleración de la gravedad (en N / kg om / s²);

z

es la altitud del punto considerado (en m).

La constante depende de la línea actual considerada.

Si, además, el flujo es irrotacional (la velocidad de rotación del fluido es cero, lo que implica un flujo sin remolinos y un campo de velocidad derivado de un potencial ), la cantidad de Bernoulli se conserva en la totalidad del fluido. Por tanto, la constante es la misma en todas partes del fluido pero depende de las características de este último, del caudal, etc.

La constante que interviene en el segundo miembro de la ecuación no es universal sino específica del flujo, actúa de una constante a lo largo de todo el campo de fluidos (flujo irrotacional), denominada carga .

Interpretación

De hecho, esta ecuación traduce el balance de energía a lo largo de una línea de corriente:

${\ Displaystyle e_ {c} = {\ frac {{\ frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2}} {V}} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}$ es la densidad volumétrica de la energía cinética ( energía cinética por unidad de volumen, siendo $m$ la masa del volumen V de fluido);
${\ Displaystyle e_ {z} = {\ frac {m \, g \, z} {V}} = \ rho \, g \, z}$ es la densidad de volumen de la energía potencial de la gravedad ;
${\ Displaystyle e_ {p} = {\ frac {p \, V} {V}} = p}$ es la densidad volumétrica de la energía debida al trabajo de las fuerzas de presión.

Por tanto, la ley del equilibrio está escrita

e_ {c} + e_ {z} + e_ {p} = {\ mathrm {constante}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2} + \ rho \, g \, z + p = \ mathrm {constante}}

lo que lleva a la ecuación de Bernouilli dividiendo esta igualdad por $ρ$ .

Nótese que, formulado así, la constante ya no es la carga, sino la presión total , y que cada término es de hecho homogéneo a una presión.

Formulaciones extendidas

Hay otras formulaciones del teorema de Bernoulli aplicables en contextos más generales.

Para fluidos compresibles:

Cuando los efectos de la compresibilidad en un fluido ya no son despreciables (velocidad de las partículas de fluido comparable a la velocidad del sonido en el fluido), se hace necesario corregir el término que caracteriza la energía potencial elástica del fluido. En el caso ideal de un gas ideal y un proceso adiabático , tenemos:

{\ Displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + \ left ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ right) {\ frac {p} { \ rho}} = \ mathrm {constante}}

donde $γ$ es el índice adiabático definido como la relación de las capacidades caloríficas del fluido: $C p / C v$ .

Formulación termodinámica:

{\ Displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + h = \ mathrm {constante}}

donde $h$ denota la entalpía específica (es decir, por unidad de masa). $h = u + pag / ρ$ , donde $u$ denota la energía interna específica del fluido.

intercambio de energía:

En el caso de un flujo del punto A al punto B con intercambio de energía (presencia de una bomba o una turbina), la expresión se convierte en:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v_ {A} ^ {2} + p_ {A} + \ rho \, g \, z_ {A} + {\ frac {P } {Q_ {V}}} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v_ {B} ^ {2} + p_ {B} + \ rho \, g \, z_ {B} }

donde $Q V$ representa el caudal volumétrico del fluido (en metros cúbicos por segundo) y $P$ representa la potencia (en vatios) de la máquina. Tenemos $P > 0$ en el caso de una bomba (la potencia la recibe el fluido) y $P <0$ en el caso de una turbina (la potencia la suministra el fluido).

Demostraciones

Variante adimensional de la ecuación de Bernoulli

En un flujo donde se puede despreciar la variación de la energía potencial, si escribimos la ecuación de Bernoulli en dos puntos a lo largo de una línea de corriente (el segundo punto está lejos del cuerpo), obtenemos:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2} + p = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2} + p _ {\ infty}}

De donde podemos sacar:

{\ Displaystyle p-p _ {\ infty} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}

Al dividir por la presión dinámica del flujo , obtenemos: ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2}}$

{\ Displaystyle {p-p _ {\ infty} \ over {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2}} = 1 - {\ frac {v ^ {2 }} {v _ {\ infty} ^ {2}}}}

Si ahora preguntamos:

{\ Displaystyle C_ {p} = {p-p _ {\ infty} \ over {\ frac {1} {2}} \, \ rho _ {\ infty} \, v _ {\ infty} ^ {2}} \ quad {\ text {et}} \ quad C_ {v} = {\ frac {v} {v _ {\ infty}}}}

$C p$ es el coeficiente de presión y $C v$ es el coeficiente de velocidad , la ecuación de Bernoulli se reduce a:

{\ Displaystyle C_ {p} = 1-C_ {v} ^ {2}}

Esta igualdad muy simple constituye la variante adimensional de la ecuación de Bernoulli.

Contrariamente a lo que puede sugerir la relativa complejidad de su redacción, los coeficientes de presión y velocidad adimensionales $C p$ y $C v$ son extremadamente intuitivos y representan bien las bajas o sobrepresiones y las bajas o sobrevelocidades que son de interés para la mecánica de fluidos; esto explica por qué aparecen en todos los resultados de las pruebas del túnel de viento.

La variante adimensional de la ecuación de Bernoulli se aplica en cada punto de un flujo (fuera de la capa límite), por lo tanto en un solo punto, lo que puede parecer contradictorio con el hecho de que la ecuación clásica de Bernoulli pone en relación las características de dos puntos en la misma línea de corriente. . La explicación de esta aparente ruptura de lógica es que $C p$ y $C v$ incluyen en su redacción la referencia a ciertas características de los puntos en el infinito aguas arriba (suficientemente alejados del cuerpo). Por tanto, sólo hay una aparente liberalidad.

Aplicaciones

A velocidad cero ( v = 0), encontramos la ley hidrostática .
Efecto venturi :
- Supongamos ahora que la velocidad no es cero, pero que siempre nos mantenemos a la misma altitud ( z constante).
- Si un líquido fluye en una tubería, entonces, dado que es incompresible, su tasa de flujo (volumen que pasa a través de una superficie por unidad de tiempo) es constante. Si la tubería se ensancha, la velocidad disminuye (dado que el flujo es el producto de la velocidad por la sección, los dos varían inversamente). El teorema de Bernoulli nos dice entonces que la presión está aumentando. Por el contrario, si la tubería se estrecha, el fluido se acelera y su presión disminuye. Este dispositivo experimental se llama tubo Venturi .
- Este resultado no es muy intuitivo porque uno esperaría que la presión aumentara cuando la sección disminuye.

Efecto Magnus :
- Si ahora la tubería permanece de sección constante pero ponemos un obstáculo en su interior; el obstáculo disminuye la sección, por lo que tenemos el mismo efecto. Si este obstáculo es un cilindro giratorio, con un eje perpendicular al eje de la tubería, entonces la fricción acelera el fluido por un lado y lo ralentiza por el otro. Por lo tanto, hay una disminución de la presión en un lado y un aumento en el otro, el cilindro sufre una fuerza: este es el efecto Magnus (a menudo consideramos el efecto Magnus en el aire, que es un fluido compresible, pero el principio general permanece lo mismo).
- Si la tubería tiene una sección constante y no presenta ningún obstáculo, entonces la velocidad es constante. Si la altitud varía, la ecuación de Bernoulli nos dice que la presión varía en sentido opuesto a la altitud.
- Entonces podemos evaluar la presión dinámica: . ${\ Displaystyle q = {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}$

Tubo de Pitot :
- Este dispositivo de medición permite evaluar la velocidad de flujo de un fluido midiendo la diferencia de presión entre dos puntos A y B del flujo unidos por una línea de corriente. En el punto A, se supone que el fluido tiene una velocidad (casi) cero, buscamos la velocidad en B. Como los puntos están sustancialmente a la misma altitud, podemos aplicar el teorema de Bernoulli en su forma habitual entre A y B.

Enfoque histórico

La primera formulación del teorema de Bernoulli aparece en Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (primera edición en 1738). Para d'Alembert , este texto es la obra fundacional de la hidrodinámica como disciplina física moderna.

Luego se formula como un balance macroscópico global y un método de cálculo, en el marco de la resolución de un problema técnico: la determinación de la duración del vaciado de los recipientes provistos de un orificio.

El fundamento radica en la igualdad del aumento potencial y el descenso actual . Se trata de una transposición a los fluidos de la conservación de las fuerzas vivas , ya conocida en mecánica, y que de hecho es el antepasado del principio de conservación de la energía en el campo de la física clásica.

Sólo en 1755, con la obra de Euler , apareció el teorema en forma de evaluación local más cercana a las formulaciones contemporáneas.

Notas y referencias

Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado “ Principio de Bernoulli ” (ver lista de autores ) .

" Mecánica de fluidos " , en ac-nancy-metz.fr (consultado el 3 de octubre de 2010 )
Bruhat, G., mecánico , 6 ª edición, Masson, 1967
(en) Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 3.11, Pitman Publishing, Londres, 1975
(en) Van Wylen, GJ y Sonntag, RE, Fundamentos de la termodinámica clásica , Sección 5.9, John Wiley and Sons Inc., Nueva York 1965
(en) ABBOTT, von Dónhof, Stivers , resumen de los datos AIRFOIL, NACA INFORME No. 824, por Ira H. Abbott, Albert E. von Dónhof, y Louis S. Stivers Jr. , , NACA,194551
Danieli Bernoulli, Hydrodynamica , Colecciones patrimoniales digitalizadas de las bibliotecas de la Universidad de Estrasburgo
Jean Le Rond d'Alembert, artículo hidrodinámico de la Encyclopédie (tomo VIII), Encyclopédie de 1765 , o Diccionario Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers
traducción de Jean Peyroux, 2004
Leonhard Euler, Principios generales del movimiento fluido, 1755 [1]