Teorema de Erdős-Stone

En la teoría de grafos extremal , Erdős de Piedra teorema es un asintótica resultado generalizar el teorema de Turán dando un límite superior para el número de bordes en un gráfico privados de H, H siendo un no completa gráfico . Lleva el nombre de Paul Erdős y Arthur Stone , quienes lo probaron en 1946, y ha sido descrito como el "teorema fundamental de la teoría de grafos extremos".

Funciones extremas de las gráficas de Turán

La función extrema se define como el número máximo de aristas en un gráfico de orden n que no contiene un subgráfico isomorfo al teorema de H. Turán establece que , el orden del gráfico de Turán , y que el gráfico de Turan es el único gráfico extremo. El teorema de Erdős-Stone extiende esto a los gráficos de Turán : ${\ Displaystyle ex (n; H)}$ ${\ Displaystyle ex (n; K_ {r}) = t_ {r-1} (n)}$ ${\ Displaystyle T (rt, r)}$

{\ Displaystyle {\ mbox {ex}} (n; K_ {r} (t)) = \ left ({\ frac {r-2} {r-1}} + o (1) \ right) {n \ elija 2}.}

Resultados

Se han probado varias versiones del teorema. Sea (para ) el mayor t tal que cada gráfico de orden n y tamaño ${\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ frac {1} {2 (r-1)}}}$

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {r-2} {2 (r-1)}} + \ varepsilon \ right) n ^ {2}}

contiene un . ${\ Displaystyle K_ {r} (t)}$

Erdős y Stone demostraron que

{\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n) \ geq \ left (\ underbrace {\ log \ cdots \ log} _ {r-1} n \ right) ^ {1/2}}

para n lo suficientemente grande. Bollobás y Erdős encontraron el orden de : para todo r y ε, hay constantes y tal que . Chvátal y Szemerédi especificaron la naturaleza de la dependencia en r y ε: ${\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}$ ${\ Displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle c_ {2} (r, \ varepsilon)}$ ${\ Displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon) \ log (n) <s_ {r, \ varepsilon} (n) <c_ {2} (r, \ varepsilon) \ log (n)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {500 \ log (1 / \ varepsilon)}} \ log n <s_ {r, \ varepsilon} (n) <{\ frac {5} {\ log (1 / \ varepsilon) )}} \ log n}

para n lo suficientemente grande.

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Erdős - Stone teorema ” ( ver lista de autores ) .

Erdős y Stone, AH, " Sobre la estructura de los gráficos lineales ", Boletín de la American Mathematical Society , vol. 52, n o 12,1946, p. 1087–1091 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7 )

Béla Bollobás , Modern Graph Theory , Nueva York, Springer-Verlag ,1998, 120 p. ( ISBN 0-387-98491-7 )

Béla Bollobás , Manual de combinatoria , Elsevier ,1995, 1244 p. ( ISBN 0-444-88002-X ) , "Teoría de grafos extremos"

Bollobás y Erdős, P., “ Sobre la estructura de los gráficos de borde ”, Boletín de la London Mathematical Society , vol. 5, n o 3,1973, p. 317–321 ( DOI 10.1112 / blms / 5.3.317 )

Chvátal y Szemerédi, E., “ Sobre el teorema de Erdős-Stone ”, Revista de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 23, n o 21981, p. 207–214 ( DOI 10.1112 / jlms / s2-23.2.207 )