Mentira superalgebra

A superálgebra Lie es una extensión de la noción de álgebra de Lie mediante la adición de un ℤ 2 -graduation . Esta graduación separa la superalgebra en la suma directa de una parte par y una parte impar. Esta estructura se utiliza en física teórica para describir la supersimetría . Los elementos del álgebra se pueden representar allí mediante operadores diferenciales . En la mayoría de estas teorías, los elementos pares corresponden a bosones y los impares corresponden a fermiones .

Definición

Una superalgebra de Lie es una superalgebra no asociativa en un anillo K (generalmente R o C ). A=A0⊕A1{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {A}} _ {0} \ oplus {\ mathcal {A}} _ {1}}

• A0{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {0}}corresponde a la parte par de la superalgebra y a la parte impar. Se dice que los elementos de son grados homogéneos . Por el contrario, los elementos que se componen de una parte par y una parte impar se dice que no son homogéneos . Así, definimos la operación como para denotar el grado de un elemento homogéneo.A1{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}}AI{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {i}}I{\ Displaystyle i}|⋅|:A0∪A1→{0,1}{\ Displaystyle | \ cdot |: {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ to \ {0.1 \}}|X|↦{0SiX∈A01SiX∈A1{\ Displaystyle | x | \ mapsto {\ begin {cases} 0 \ quad {\ text {si}} \ quad x \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \\ 1 \ quad {\ text {si }} \ quad x \ in {\ mathcal {A}} _ {1} \ end {cases}}}
• El bilineal producto interno de un superálgebra Lie se denota y llamó a un Lie súper gancho o súper interruptor . Debe cumplir las siguientes dos condiciones: [⋅,⋅]:A×A→A{\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathcal {A}} \ times {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {A}}}
  • Súper anti-simetría :
    ∀X,y∈A0∪A1[X,y]=-(-1)|X||y|[y,X]{\ Displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]}
  • Super
  relación jacobi
  ∀X,y,z∈A0∪A1(-1)|X||z|[X,[y,z]]+(-1)|y||X|[y,[z,X]]+(-1)|z||y|[z,[X,y]]=0{\ Displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad (-1) ^ {| x || z | } [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0}

Propiedades

• ∀X∈A0[X,X]=0{\ Displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \ quad [x, x] = 0}
• ∀X∈A1[[X,X],X]=0{\ Displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad [[x, x], x] = 0}
• |[X,y]|=|X|+|y|modificación2{\ Displaystyle | [x, y] | = | x | + | y ​​| \ mod 2}

Ejemplos de

ospag(1|2){\ Displaystyle {\ mathfrak {osp}} (1 | 2)}

Dejemos , y tal que: J0∈A0{\ displaystyle J_ {0} \ in {\ mathcal {A}} _ {0}}J+∈A1{\ Displaystyle J _ {+} \ in {\ mathcal {A}} _ {1}}J-∈A1{\ Displaystyle J _ {-} \ in {\ mathcal {A}} _ {1}}

• [J0,J+]=J+{\ Displaystyle [J_ {0}, J _ {+}] = J _ {+}}
• [J0,J-]=-J-{\ Displaystyle [J_ {0}, J _ {-}] = - J _ {-}}
• [J+,J-]=2J0{\ Displaystyle [J _ {+}, J _ {-}] = 2J_ {0}}

Entonces el conjunto , provisto del supergancho de Lie definido por su bilinealidad y por los productos de , y , forma la superalgebra de Lie . {a⋅J0+B⋅J++vs⋅J-|a,B,vs∈VS}{\ Displaystyle \ {a \ cdot J_ {0} + b \ cdot J _ {+} + c \ cdot J _ {-} | a, b, c \ in \ mathbb {C} \}}J0{\ Displaystyle J_ {0}}J+{\ Displaystyle J _ {+}}J-{\ Displaystyle J _ {-}}ospag(1|2){\ Displaystyle {\ mathfrak {osp}} (1 | 2)}

Notas y referencias

Notas

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “  Lie superalgebra  ” ( ver la lista de autores ) .

Referencias

Ver también

Artículos relacionados

• Representación de una superalgebra de mentira  (en)
• Superalgebra  (en)
• Álgebra graduada
• Álgebra de mentiras
• Relación Jacobi

enlaces externos