Subgrupo normal mínimo

En matemáticas , y más particularmente en teoría de grupos , un subgrupo normal mínimo de un grupo G es un elemento mínimo del conjunto de subgrupos normales de G no reducido al elemento neutral , este conjunto se ordena por inclusión. Por lo tanto, un subgrupo normal mínimo de G es un subgrupo normal N de G tal que 1 <N y que no existe un subgrupo normal K de G para el cual 1 <K <N. (L 'La expresión "subgrupo normal mínimo" es obviamente algo abusivo, ya que en todos los términos rigurosos, 1 es el único subgrupo normal mínimo de G. Sin embargo, este mal uso del lenguaje es casi universal.)

Algunos hechos

• Cualquier grupo finito no reducido al elemento neutro admite al menos un subgrupo normal mínimo.

De hecho, sea G un grupo finito no reducido al elemento neutro. Hay al menos un subgrupo normal de G que no se reduce al elemento neutro, a saber, el propio G. Entre los subgrupos normales de G no reducidos al elemento neutro, considérese uno, es decir, N, del orden más pequeño posible. Está claro que N es un subgrupo normal mínimo de G.

• Un grupo infinito no admite necesariamente un subgrupo normal mínimo. Por ejemplo, el grupo aditivo Q de números racionales no admite ninguno. De hecho, dado que Q es abeliano , todos sus subgrupos son normales, por lo tanto, un subgrupo normal mínimo N de Q sería un grupo no reducido al elemento neutral y que no tendría otro subgrupo que él mismo y su subgrupo reducido al elemento neutral. Podemos mostrar fácilmente que tal grupo es finito (de orden primo ), o Q no admite ningún elemento de orden finito distinto de 0.
• Cualquier subgrupo normal mínimo de un grupo es un grupo característicamente simple .

Esto se deduce fácilmente que cualquier subgrupo característico de un subgrupo normal de un grupo G es subgrupo normal de G .

(Podemos probar que, a la inversa, cualquier grupo G característicamente simple no reducido al elemento neutral puede sumergirse en un grupo H admitiendo G para el subgrupo normal mínimo, a saber, H = Hol (G)) .

Nosotros sabemos que si un grupo característicamente sencilla K admite un subgrupo normal mínima H, entonces H es simple y K se limita suma de una familia (finito o infinito) de subgrupos simples todo isomorfo a H (y esta familia se puede elegir como se entiende H). Dada la declaración anterior, esto nos da:

• Si G es un grupo, N un subgrupo normal mínimo de G y H un subgrupo normal mínimo de N, entonces H es simple y N es la suma restringida de una familia (finita o infinita) de todos los subgrupos simples isomorfos a H (y esta familia puede elegirse de modo que incluya H).

De hecho, podemos demostrar esta afirmación un poco más fuerte:

• Si G es un grupo, N un subgrupo normal mínimo de G y H un subgrupo normal mínimo de N, entonces H es simple y N es la suma restringida de una familia (finita o infinita) de todos los subgrupos simples conjugados de H en G (y esta familia puede elegirse de forma que incluya a H).

De esta declaración, o de la anterior, resulta lo siguiente:

• Si G es un grupo resoluble finito , si N es un subgrupo normal mínimo de G, entonces N es un grupo abeliano elemental, es decir, el producto directo de una familia (finita) de grupos todos isomorfos al mismo grupo Z / p Z , por cierto número primo p .

De hecho, por un lado, un grupo finito no reducido al elemento neutro siempre admite al menos un subgrupo normal mínimo y, por otro lado, un subgrupo simple de un grupo resoluble es a la vez simple y resoluble y, por lo tanto, es un grupo finito de primer orden.

La declaración anterior se utiliza en la demostración del teorema de Philip Hall sobre la existencia de subgrupos de Hall en grupos finitos solubles.

Notas y referencias

1. (en) WR Scott , Teoría de grupos , Dover ,1987( 1 st  ed. 1964) evita este abuso y habla (p. ej. p. 74) de "subgrupo no E normal, mínimo", donde E denota el subgrupo reducido al elemento neutral.
2. Ver una demostración en Scott 1987 , n ° 4.4.3, p. 74.
3. Véase, por ejemplo, (en) Joseph J. Rotman  (en) , Introducción a la teoría de grupos [ detalle de las ediciones ], 4 ª ed., Edición de 1999, p. 109.

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