Rosette (matemáticas)

En matemáticas , una roseta o rhodonea es una curva plana que se obtiene dibujando una sinusoide en coordenadas polares .

General

Con una similitud , estas curvas se definen mediante una ecuación polar de la forma:

r=porque⁡(kθ){\ Displaystyle \! \, r = \ cos (k \ theta)}

o en forma paramétrica por las funciones:

X=porque⁡(kt)pecado⁡(t){\ Displaystyle \! \, x = \ cos (kt) \ sin (t)} y=porque⁡(kt)porque⁡(t){\ Displaystyle \! \, y = \ cos (kt) \ cos (t)}

k siendo un número real:

• si k es racional , entonces la curva es cerrada y de longitud finita;
• si k es irracional , entonces la curva no está cerrada y su longitud es infinita.

La roseta tendrá:

• k pétalos si k es un número entero impar, porque la curva está completamente dibujada cuando θ varía de 0 a π (cuando θ varía de π a 2π, la curva pasa por los puntos ya dibujados);
• 2 k pétalos si k es un número entero par, porque la curva se dibuja exactamente una vez cuando θ varía de 0 a 2π.
• 4 k pétalos si k es una fracción irreducible con denominador 2 (ejemplos: 1/2, 5/2);
• 12 k pétalos si k es una fracción irreducible con denominador 6 y mayor que 1 (ejemplos: 7/6, 17/6).

• Rosetas
• con 7 pétalos ( k = 7)
• con 8 pétalos ( k = 4)
• con 20 pétalos ( k = 10)

Si k es una fracción irreducible con denominador 3 y mayor que 1, la roseta tendrá:

• 3 k pétalos si su numerador es impar (ejemplos: 5/3 y 7/3);
• 6 k pétalos si su numerador es par (ejemplos: 4/3 y 8/3).

El término rhodonea fue elegido por el matemático italiano Luigi Guido Grandi entre 1723 y 1728.

Área

Una roseta cuya ecuación polar tiene la forma

r=aporque⁡(kθ){\ Displaystyle r = a \ cos (k \ theta)}

donde k es un número entero positivo, tiene un área igual a

12∫02π(aporque⁡(kθ))2Dθ=a22(π+pecado⁡(4kπ)4k)=πa22{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, {\ rm {d}} \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ pi + {\ frac {\ sin (4k \ pi)} {4k}} \ right) = {\ frac {\ pi a ^ { 2}} {2}}}

si k es par y

12∫0π(aporque⁡(kθ))2Dθ=a22(π2+pecado⁡(2kπ)4k)=πa24{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, {\ rm {d}} \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac {\ sin (2k \ pi)} {4k}} \ right) = { \ frac {\ pi a ^ {2}} {4}}}

si k es impar.

El mismo principio se aplica a las rosetas de ecuación polar de la forma:

r=apecado⁡(kθ){\ Displaystyle r = a \ sin (k \ theta)}

ya que sus gráficos son solo imágenes por rotación de las rosetas definidas usando el coseno.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Rose (matemáticas)  " ( ver la lista de autores ) .

1. (en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , "Rhodonea Curves" en el archivo MacTutor History of Mathematics , Universidad de St Andrews ( leer en línea ).

Ver también

Artículos relacionados

• Curva de Lissajous
• Quadrifolium : una roseta con k = 2.
• Roseta (topología  )
• El reverso de las rosetas: las orejas .

enlaces externos

• (en) Eric W. Weisstein , "  Rose  " , en MathWorld
• Rosetas en Mathcurve

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