Relaciones Kramers-Kronig
En matemáticas y física , las relaciones Kramers-Kronig , nombradas en honor a Hendrik Anthony Kramers y Ralph Kronig , describen la relación entre la parte real e imaginaria de ciertas funciones complejas. Más específicamente, se aplican a funciones que son analíticas en el semiplano superior de la variable compleja. De hecho, podemos demostrar que tal función representa la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal.
Estados
Si escribimos
,
con y real de funciones "simpáticas" , entonces las relaciones Kramers-Kronig son:
{F1(ω)=+2π∫0∞ΩF2(Ω)Ω2-ω2DΩF2(ω)=-2π∫0∞ωF1(Ω)Ω2-ω2DΩ{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} f_ {1} (\ omega) = + {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Omega f_ {2} (\ Omega)} {\ Omega ^ {2} - \ omega ^ {2}}} d \ Omega \\ f_ {2} (\ omega) = - {\ frac {2} {\ pi }} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ omega f_ {1} (\ Omega)} {\ Omega ^ {2} - \ omega ^ {2}}} d \ Omega \ end { alineado}} \ right.}
Aplicaciones
Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert y se aplican con mayor frecuencia a la permitividad de los materiales. Sin embargo, en este caso,
,
con la susceptibilidad eléctrica del material, la susceptibilidad se puede interpretar como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente corta, es decir su respuesta impulsiva .
Estas relaciones son más conocidas en el campo de las Telecomunicaciones / Teoría del Control como las relaciones Bayard-Bode , en homenaje al trabajo de Marcel Bayard (1936) y Hendrik Wade Bode (1945). El teorema de Bayard-Bode es una aplicación: la amplitud y la fase están relacionadas en el caso de un sistema de fase mínima .
Notas y referencias
- (en) HA Kramers (1927). "La dispersión de la luz por los átomos" en Atti del Congresso internazionale dei fisico Transactions of Volta Centenary Congress 2 : 545-557 p ..
- (en) R. de L. Kronig , " Sobre la teoría de la dispersión de los rayos X " , Revista de la Optical Society of America , vol. 12,1926, p. 547-557