Rayo espectral

Sea un endomorfismo en un espacio de Banach complejo , llamamos radio espectral de , y denotamos , el radio de la bola cerrada más pequeña con centro 0 que contiene todos los valores espectrales de . Siempre es menor o igual que el estándar del operador de . $A$ $mi$ $A$ $\ rho (A)$ $A$ $A$

En dimensión finita, para un endomorfismo de valores propios complejos , el radio espectral es igual a . $\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}$ $\ max _ {{i}} {\ izquierda | \ lambda _ {i} \ derecha |}$

Por lo tanto, para cualquier norma de matriz N , es decir, cualquier álgebra estándar en (respectivamente ) y para cualquier matriz A en (respectivamente ) . $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $M_ {n} ({\ mathbb C})$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $M_ {n} ({\ mathbb C})$ $\ rho (A) \ leq N (A)$

Demostración

Sea un autovalor de y un autovector asociado. Tenga en cuenta la matriz cuadrada cuya primera columna es y las otras son cero. Por lo tanto, tenemos y podemos simplificar porque el vector no es cero, es el mismo para la matriz . $\ lambda$ $A$ $X$ $B$ $X$ $AB = \ lambda B$ $| \ lambda | N (B) = N (AB) \ leq N (A) N (B)$ $N (B)$ $X$ $B$

Además, mostramos que , el límite inferior se toma en el conjunto de normas subordinadas y, por tanto, a fortiori en el conjunto de normas de álgebra. $\ rho (A) = \ inf N (A)$

El teorema de Gelfand nos dice que el radio espectral de un endomorfismo viene dado por la fórmula . $\ rho (A)$ $A$ $\ rho (A) = \ lim _ {{+ \ infty}} \ | A ^ {n} \ | ^ {{1 / n}}$

Para un operador normal (en particular para un operador autoadjunto ) en un espacio de Hilbert H , el radio espectral es igual a la norma del operador. De ello se deduce que para cualquier operador A en H , . $\ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)$

Por lo tanto, el radio espectral puede ser estrictamente menor que el estándar del operador. Por ejemplo, la matriz tiene un radio espectral 0, pero así (más precisamente, porque tenemos ). $M = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}$ $M \ neq 0$ $\ | M \ |> 0 = \ rho (M)$ $\ | M \ | = 1$ $\ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {{\ operatorname t}} M \ M \ | = \ rho (^ {{\ operatorname t}} M \ M) = 1$

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