El cociente isoperimétrico es una dimensión sin dimensión que permite evaluar la redondez o la esfericidad de una superficie o un sólido. Depende de la forma del objeto estudiado y no de su tamaño. Inicialmente definido en el plan para comparar dos superficies con el mismo perímetro, está vinculado a todos los problemas de isoperimetría .
Luego, la noción se generaliza a los espacios superiores manteniendo el mismo nombre.
En las fuentes, encontramos varias expresiones no equivalentes del cociente isoperimétrico.
Consideramos una superficie S medible que tiene un borde rectificable , es decir que tiene un área finita y su perímetro es de longitud finita.
El cociente isoperimétrico de S se puede definir como la relación entre el área de la superficie y el área de la superficie máxima obtenida para el mismo perímetro. Entonces es siempre un número entre 0 y 1, que llega a 1 cuando la superficie es un disco.
Si A es el área de S yp su perímetro, el cociente isoperimétrico q 1 es igual a:
Ejemplo: el cociente isoperimétrico de un polígono regular con n lados es:
El cociente isoperimétrico, por otro lado, puede definirse como la relación entre el cuadrado del perímetro y el área, Con este nuevo significado, el cociente isoperimétrico alcanza un mínimo de 4π para el disco y puede tomar valores infinitamente grandes cuando el área de S tiende hacia 0 y su perímetro permanece constante.
Para un sólido K de volumen V y superficie S , encontramos las dos definiciones
El cociente q 1 varía de 0 a 1 y alcanza su máximo para la pelota. El cociente q 2 varía de 36π a infinito y alcanza su mínimo para la pelota.
El cociente isoperimétrico de un sólido no debe confundirse con su relación área-volumen .
Para un K compacto en un espacio euclidiano de dimensión n provisto con la medida de Lebesgue , el cociente isoperimétrico a menudo se define por igualdad: ¿Dónde está el límite de K.
Este cociente alcanza su mínimo para la pelota.
A veces encontramos una tercera definición del cociente isoperimétrico: