Proyector (física estadística)
En física estadística , el proyector es un operador que, a partir de una separación a priori de las variables de una función estocástica en varios subespacios, permite establecer una nueva relación física en la que intervienen únicamente las variables elegidas. Esta partición se basa, por ejemplo, en los tiempos característicos asociados con cada uno de los conjuntos de variables en la física estadística clásica.
Proyector en física estadística clásica
Sea un conjunto de N partículas descritas por las coordenadas generalizadas 3N y cuya evolución se rige por un proceso estocástico de Markov caracterizado por la función de distribución . Esta función obedece a la ecuación maestraqI{\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {i}}
F(qI,t){\ Displaystyle f (\ mathbf {q} _ {i}, t)}
∂∂tF(qI,t)=ΓF{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ Gamma f}![{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ Gamma f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53339b409289d99a8e1ea0ab9980e3d9e83a2da9)
donde es un operador lineal que puede ser, por ejemplo, el operador de Liouville .
Γ{\ Displaystyle \ Gamma}![\Gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
Queremos dividir todas estas variables en conjuntos de variables “lentas” y “rápidas” , esta noción está subordinada al conocimiento a priori del sistema. Las variables lentas pueden definirse, por ejemplo, como aquellas que corresponden a las longitudes de onda largas del desarrollo en series de Fourier de una realización temporal del proceso estudiado.
qL=(q1...qmetro){\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {L} = (\ mathbf {q} _ {1} ... \ mathbf {q} _ {m})}
qR=(qmetro+1...qNO){\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {R} = (\ mathbf {q} _ {m + 1} ... \ mathbf {q} _ {N})}![{\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {R} = (\ mathbf {q} _ {m + 1} ... \ mathbf {q} _ {N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27af3b10c9ca8c1cbb728a139a5da10236d08f91)
El operador utilizado, anotado, viene dado formalmente por . En la práctica lo escribiremos
PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}
gramo(qL,qR,t)=PAGF(q,t){\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q}, t)}![{\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8c4ddc92a4fd0ac001b7b72080ff5f222efaf4)
gramo(qL,qR,t)=gramoL(qL,t)ϕ(qR){\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = g_ {L} (\ mathbf {q} _ {L}, t) \ phi (\ mathbf {q} _ {R})}![{\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = g_ {L} (\ mathbf {q} _ {L}, t) \ phi (\ mathbf {q} _ {R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e37e60dc552f4a39a332c3d79dca837142b76d)
o
-
ϕ(qR){\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {q} _ {R})}
es una distribución dada a priori y relevante para el problema considerado, con media cero, por ejemplo , ruido blanco ,
-
gramoL(qL,t)=∫ψ(qR)F(qL,qR,t)DqR{\ Displaystyle g_ {L} (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ int \ psi (\ mathbf {q} _ {R}) f (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) \ mathrm {d} \ mathbf {q} _ {R}}
es una función dada que satisface la siguiente igualdad (producto escalar)
∫ψ(qR)ϕ(qR)DqR=1{\ Displaystyle \ int \ psi (\ mathbf {q} _ {R}) \ phi (\ mathbf {q} _ {R}) \ mathrm {d} \ mathbf {q} _ {R} = 1}![{\ Displaystyle \ int \ psi (\ mathbf {q} _ {R}) \ phi (\ mathbf {q} _ {R}) \ mathrm {d} \ mathbf {q} _ {R} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c819a3ff95ce489b44587616f28071e65fbb9bf0)
Si podemos separar las dos categorías de variables en términos de tiempos característicos, mostramos que es un proyector en el sentido matemático y que podemos proyectar la ecuación maestra en un dominio lento. Obtenemos en tiempos prolongados (cuando se olvida la condición inicial)
PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}![\ mathcal {P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6)
∂∂tgramo(qL,t)=ΓLgramo{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \, g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ Gamma _ {L} \, g}![{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \, g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ Gamma _ {L} \, g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fbd811933662a2746be7da589f387bd3ea849d)
Demostración
Es fácil verificar que el operador comprueba la propiedad de idempotencia.
PAG2F=PAG(PAGF)=PAGF{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} f = {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} f) = {\ mathcal {P}} f}![{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} f = {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} f) = {\ mathcal {P}} f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257c9b76259d255fe5d2d2880078e29b457997c8)
Por tanto, es un proyector .
Considere ahora el operador complementario tal que
Q{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}}}![{\ mathcal {Q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482)
F=PAGF+QF{\ Displaystyle f = {\ mathcal {P}} f + {\ mathcal {Q}} f}![{\ Displaystyle f = {\ mathcal {P}} f + {\ mathcal {Q}} f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d874358d7ca24c556d87e516fcd11fde4030d7c9)
- Al premultiplicar desde la izquierda y luego hacia la derecha, vemos quePAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}
PAGQ=QPAG=0{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} {\ mathcal {Q}} = {\ mathcal {Q}} {\ mathcal {P}} = 0}
- Multiplicando a la izquierda por y teniendo en cuenta las relaciones anteriores, vemos que : como podría imaginarse es un proyector.Q{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}}}
Q2F=QF{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} ^ {2} f = {\ mathcal {Q}} f}
Q{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}}}![{\ mathcal {Q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482)
Si aplicamos estos proyectores a la ecuación maestra, resulta
∂∂tqIF=PAGΓPAGF+PAGΓQF{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ mathbf {q} _ {i} f = \ mathbf {P} \ Gamma \ mathbf {P} f + \ mathbf {P} \ Gamma \ mathbf {Q} f}
∂∂tQF=QΓQF+QΓPAGF{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ mathbf {Q} f = \ mathbf {Q} \ Gamma \ mathbf {Q} f + \ mathbf {Q} \ Gamma \ mathbf {P} f }
Integramos esta segunda ecuación teniendo en cuenta la condición inicial
F(qI,t0)=F0(qI)=PAGF0+QF0{\ Displaystyle f (\ mathbf {q} _ {i}, t_ {0}) = f_ {0} (\ mathbf {q} _ {i}) = {\ mathcal {P}} f_ {0} + { \ mathcal {Q}} f_ {0}}![{\ Displaystyle f (\ mathbf {q} _ {i}, t_ {0}) = f_ {0} (\ mathbf {q} _ {i}) = {\ mathcal {P}} f_ {0} + { \ mathcal {Q}} f_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7305d1afb4c14b954ee8993103fe67fc5f44b7)
el viene
QF(qI,t)=∫t0tmi(t-τ)QΓQΓPAGF(qI,τ)Dτ+mi(t-t0)QΓQF0{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + e ^ {( t-t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}![{\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + e ^ {( t-t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a64762eb15ae195762e97a76d0b69e2735c35df)
Luego extraemos la solución de la primera ecuación
PAGF(qI,t)=PAGΓPAGF(qI,t)+PAGΓ∫t0tmi(t-τ)QΓQΓPAGF(qI,τ)Dτ+PAGΓmi(t-t0)QΓQF0{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = {\ mathcal {P}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ { i}, t) + {\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + {\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t -t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}![{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = {\ mathcal {P}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ { i}, t) + {\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + {\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t -t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2ff3d605025ac5acb710975bf008c1f60374a0)
Mediante la sustitución con y dividiendo porPAGF{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} f}
gramo{\ Displaystyle g}
ϕ{\ Displaystyle \ phi}
gramo(qL,t)=PAGΓgramo(qL,t)+PAGΓ∫t0tmi(t-τ)QΓQΓgramo(qL,τ)Dτ⏟término de la historia+PAGΓmi(t-t0)QΓQF0⏟condición inicial{\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = {\ mathcal {P}} \ Gamma g (\ mathbf {q} _ {L}, t) + \ underbrace {{\ mathcal {P }} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma g (\ mathbf { q} _ {L}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau} _ {\ text {término de la historia}} + \ underbrace {{\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t-t_ {0} ) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}} _ {\ text {condición inicial}}}![{\ Displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = {\ mathcal {P}} \ Gamma g (\ mathbf {q} _ {L}, t) + \ underbrace {{\ mathcal {P }} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma g (\ mathbf { q} _ {L}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau} _ {\ text {término de la historia}} + \ underbrace {{\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t-t_ {0} ) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}} _ {\ text {condición inicial}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28865e25bb2be462a39416411f753065adc76c1)
Durante un tiempo suficientemente largo, se puede ignorar el último término que es la amortiguación de la condición inicial.
Si el tiempo característico del término de memoria es suficientemente bajo comparado con el de la variación de g, el término histórico también puede ser reemplazado por
[PAGΓ∫t0tmi(t-τ)QΓQΓDτ]gramo(qL,t)=Λgramo(qL,t){\ Displaystyle \ left [{\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma \ mathrm {d} \ tau \ right] g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ Lambda g (\ mathbf {q} _ {L}, t)}![{\ Displaystyle \ left [{\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma \ mathrm {d} \ tau \ right] g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ Lambda g (\ mathbf {q} _ {L}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3946ecf68ddb96d0ae92dc33240be22e9efa808)
La ecuación de g se convierte en
∂gramo∂t=PAG(Γ+Λ)gramo=ΓLgramo{\ Displaystyle {\ frac {\ gamma parcial} {\ t parcial}} = {\ mathcal {P}} (\ Gamma + \ Lambda) g = \ Gamma _ {L} \, g}
Ejemplo de movimiento browniano
El movimiento browniano se define como el movimiento estocástico de un tamaño de partícula pequeño y masa m en un fluido. Es el resultado del movimiento de moléculas que interactúan entre sí y con la partícula. Puede ser representado por la ecuación de Langevin que es una ecuación estocástica relacionada con las variables aleatorias velocidad u y posición x, obviamente ligada a la velocidad par . Nos ubicaremos en una dimensión del espacio.
tu=DXDt{\ Displaystyle u = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}![{\ Displaystyle u = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865c2c31f47e1fa8c095e78d1ec56420ee4a7993)
DtuDt=-γtu+Fmetro{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t}} = - \ gamma u + {\ frac {F} {m}}}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t}} = - \ gamma u + {\ frac {F} {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1723af267e8a1e42c2153345589aa233b454a5d8)
γ caracteriza el frenado promedio debido a choques con moléculas circundantes y es la fuerza aleatoria con media cero resultante de los choques más grandes, que se supone que está representada por un ruido blanco gaussiano debido a que resulta de un gran número de choques teorema del límite central ). Si además suponemos que la partícula en equilibrio termodinámico con su baño
F{\ Displaystyle F}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
metro⟨tu2⟩=kT{\ Displaystyle m \ langle u ^ {2} \ rangle = kT}![{\ Displaystyle m \ langle u ^ {2} \ rangle = kT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe232aab3218f636d41e237b05608526003d3505)
También podemos representar el movimiento browniano mediante la función de distribución f (x, u, t) que da la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo [x, x + dx], [u, u + du] en el instante t. Usando el lema de Itō podemos escribir la ecuación de f en la forma de una ecuación de Fokker-Planck llamada ecuación de Kramers
∂∂tF(X,tu,t)=-tu∂∂X⏟Λ1F+γ∂∂tu(tu+kTmetro∂∂tu)⏟Λ0F=ΛF{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f (x, u, t) = \ refuerzo {-u \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}} _ {\ Lambda _ {1}} f + \ refuerzo {\ gamma {\ frac {\ parcial} {\ parcial u}} \ izquierda (u + {\ frac {kT} {m}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial u}} \ right)} _ {\ Lambda _ {0}} f = \ Lambda f}![{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f (x, u, t) = \ refuerzo {-u \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}} _ {\ Lambda _ {1}} f + \ refuerzo {\ gamma {\ frac {\ parcial} {\ parcial u}} \ izquierda (u + {\ frac {kT} {m}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial u}} \ right)} _ {\ Lambda _ {0}} f = \ Lambda f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4133f5eb6c4cb9971c025c47eb560ed667971fa8)
La solución estacionaria de esta ecuación es una distribución de Maxwell.
Fmiq(X,tu,t)=Fmiq(tu)=metro2πkTmi-metrotu22kT{\ Displaystyle f_ {eq} \, (x, u, t) = f_ {eq} \, (u) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} e ^ {- {\ frac {mu ^ {2}} {2kT}}}}![{\ Displaystyle f_ {eq} \, (x, u, t) = f_ {eq} \, (u) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} e ^ {- {\ frac {mu ^ {2}} {2kT}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fffcebfaa1d257ccc3e846bd40b91a17e2029f)
Definimos el proyector de modo que
PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}![\ mathcal {P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6)
gramo(X,tu,t)=PAGF(X,tu,t)=Fmiq(tu)∫-∞∞F(X,tu,t)Dtu=Fmiq(tu)gramo¯(X,t){\ Displaystyle g (x, u, t) = {\ mathcal {P}} f (x, u, t) = f_ {eq} (u) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f ( x, u, t) \ mathrm {d} u = f_ {eq} (u) \, {\ overline {g}} (x, t)}![{\ Displaystyle g (x, u, t) = {\ mathcal {P}} f (x, u, t) = f_ {eq} (u) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f ( x, u, t) \ mathrm {d} u = f_ {eq} (u) \, {\ overline {g}} (x, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e02ca84cd7533b1560a61c319cb3c8dafef450b)
Se supone que la función varía lentamente en el medio: intentaremos separarla de .
gramo¯(X,t){\ Displaystyle {\ overline {g}} (x, t)}
Fmiq(tu){\ Displaystyle f_ {eq} (u)}![{\ Displaystyle f_ {eq} (u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f930aa2085fa233c0d64d92160d1c07f082f1c8)
El proyector satisfecho
PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}![\ mathcal {P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6)
Λ0PAG=0,PAGΛ0=0,PAGΛ1PAGF=0{\ Displaystyle \ Lambda _ {0} {\ mathcal {P}} = 0 \ ,, \; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {0} = 0 \ ,, \ ; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {1} {\ mathcal {P}} f = 0}![{\ Displaystyle \ Lambda _ {0} {\ mathcal {P}} = 0 \ ,, \; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {0} = 0 \ ,, \ ; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {1} {\ mathcal {P}} f = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbce85829f2565e4274941dbe2829be8e46ad85)
Aplicando la técnica general descrita en el cuadro anterior, obtenemos
∂∂tgramo¯(X,t)=∂∂X(kTmetroγ∂∂X)gramo¯(X,t)+∫-∞∞Λ1miPAGΛ(t-t0)PAGF0Dtu{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} {\ overline {g}} (x, t) = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ left ({\ frac {kT } {m \ gamma}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ derecha) {\ overline {g}} (x, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Lambda _ {1} e ^ {{\ mathcal {P}} \ Lambda (t-t_ {0})} {\ mathcal {P}} f_ {0} \ mathrm {d} u}![{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} {\ overline {g}} (x, t) = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ left ({\ frac {kT } {m \ gamma}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ derecha) {\ overline {g}} (x, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Lambda _ {1} e ^ {{\ mathcal {P}} \ Lambda (t-t_ {0})} {\ mathcal {P}} f_ {0} \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f959eb4a464250651eab08356509b1ba5c26263)
El segundo término de esta expresión, proveniente de la condición inicial f 0 , se desvanece en mucho tiempo y queda una simple ecuación de difusión para la variación espacio-temporal en el medio.
Notas y referencias
Notas
Referencias
-
(in) Hazime Mori , " Transporte, movimiento colectivo y movimiento browniano " , Progreso de la física teórica , vol. 33, n o 3,1965, p. 423-454 ( leer en línea )
-
(in) HA Kramers , " Movimiento browniano en un campo de fuerza y el modelo de distribución de reacciones químicas " , Physica , vol. 7, n o 4,1940, p. 284-304
Libros de referencia
- Monique Jeanblanc y Thomas Simon, " Elementos del cálculo estocástico "
- Noëlle Pottier , Física estadística fuera de equilibrio: procesos lineales irreversibles , Les Ulis / Paris, EDP Sciences / CNRS Éditions ,2007, 524 p. ( ISBN 978-2-86883-934-3 , leer en línea )
- (en) Ryōgo Kubo , Morikazu Toda y Natsuki Hashitsume, Física estadística II: Mecánica estadística sin equilibrio , Springer Verlag ,1991, 279 p. ( ISBN 978-3-642-58244-8 , leer en línea )
- Jérôme Beugnon, " Física estadística cuántica " ,2016
- (en) Dimitrii Zubarev , Vladimir Morozov y Gerd Röpke , Mecánica estadística de los procesos de desequilibrio: procesos de relajación y hidrodinámicos , Academie Verlag,1997
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