En probabilidad y estadística , un proceso de Bernoulli es un proceso estocástico discreto que consiste en una secuencia de variables aleatorias independientes que toman sus valores de dos símbolos. Prosaicamente, un proceso de Bernoulli consiste en lanzar una moneda varias veces seguidas, posiblemente con una moneda amañada. Una variable en una secuencia de este tipo puede denominarse variable de Bernoulli .
Un proceso de Bernoulli es una cadena de Markov . Su árbol de probabilidad es un árbol binario .
Un proceso de Bernoulli es un proceso estocástico discreto que consiste en una serie finita o infinita de variables aleatorias independientes X 1 , X 2 , X 3 ... tales como:
En otras palabras, un proceso de Bernoulli es una serie de pruebas de Bernoulli independientes y equiprobables. Los dos valores posibles para cada X i a menudo se denominan "éxito" y "fracaso", por lo que, cuando se expresa como 0 o 1, el valor se describe como el número de éxitos después de la i -ésima "prueba". . Las diferentes variables pasa / no pasa X i también se denominan pruebas de Bernoulli.
La independencia de las pruebas de Bernoulli supone la propiedad de la ausencia de memoria: las pruebas pasadas no dan ninguna información sobre los resultados venideros. Desde cualquier punto en el tiempo, las pruebas futuras también forman un proceso de Bernoulli independiente del pasado (propiedad inicial nueva).
Las variables aleatorias asociadas con el proceso de Bernoulli incluyen
El problema de ejecutar el proceso con solo una muestra finita de pruebas de Bernoulli se conoce como el problema de verificar si una pieza es normal .
El proceso de Bernoulli se puede formalizar en el lenguaje de los espacios de probabilidad . Un proceso de Bernoulli es un espacio de probabilidad (Ω, Pr) asociado con una familia de variables aleatorias independientes X i definidas en este espacio con valores en {0; 1} , y tal que para cada i , tenemos
X i = 1 con probabilidad p y X i = 0 con probabilidad 1 - p .
Dado un proceso de Bernoulli definido en un espacio de probabilidad (Ω, Pr) , podemos asociar a cada ω ∈ Ω una secuencia de números enteros
llamada la suite Bernoulli . Así, por ejemplo, si ω representa una serie de lanzamientos de la moneda, a continuación, la secuencia de Bernoulli es la lista de números enteros para los que hemos obtenido cabezas .
Casi todas las suites de Bernoulli son suites ergódicas .
Dado un proceso de Bernoulli con p ≠ 1/2 , podemos deducir un proceso de Bernoulli con p = 1/2 gracias al extractor de Von Neumann, el extractor aleatorio más antiguo .
De la secuencia de 0 y el 1 original, extraemos una nueva secuencia de 0 y 1 agrupando los valores en pares de 0 y 1 sucesivos. De estos pares deducimos la nueva secuencia de 0 y 1 de la siguiente manera:
Por tanto, la tabla de conversión es la siguiente:
Entrada | Salida |
---|---|
00 | nada |
01 | 0 |
10 | 1 |
11 | nada |
Dado que se necesitan dos valores de entrada para producir un valor o ninguno, la salida será al menos dos veces más corta que la entrada. Al observar q = 1 - p , el extractor elimina en promedio p 2 + q 2 de los datos de entrada. Este valor es mínimo cuando p = 1/2 , donde elimina la mitad de los pares de entrada, y en este caso la salida será en promedio cuatro veces más corta que la entrada.
Los datos de salida incluyen un número igual de 0 y 1, ya que 10 y 01 son igualmente probables, ya que ambos tienen la probabilidad pq .
Como cada prueba tiene uno de dos resultados, la secuencia de pruebas se puede representar mediante los dígitos binarios de un número real . Cuando la probabilidad p es 1/2, todas las secuencias posibles son igualmente probables, por lo que la medida de la tribu del proceso de Bernoulli es equivalente a la medida uniforme sobre el intervalo unitario : en otras palabras, los números reales se distribuyen uniformemente en el intervalo de la unidad.
El operador de cambio T que pasa a la siguiente variable aleatoria,
luego corresponde al cambio de Bernoulli o función diádica
donde z ∈ [0; 1] representa una serie dada de medidas y donde E ( z ) es la parte entera , el entero más grande menor o igual que z . En términos coloquiales, el desplazamiento de Bernoulli "salta" el dígito más a la izquierda de la representación binaria de z .
El cambio de Bernoulli es un modelo soluble de caos exactamente determinista . Se puede determinar el operador de evolución , también llamado operador de Frobenius-Perron, del cambio de Bernoulli; sus valores propios son potencias de 1/2 y sus funciones propias son polinomios de Bernoulli .
En la teoría ergódica, la generalización del proceso de Bernoulli a dos o más resultados se denomina esquema de Bernoulli .
En la educación francesa secundario, un diagrama de Bernoulli de los parámetros n y p designa un serie de n independientes pruebas de Bernoulli con el mismo parámetro p .