En matemáticas , concretamente en geometría , el problema de los contactos , también llamado problema de Apolonio o problema de los tres círculos es uno de los grandes problemas de la antigüedad griega . Se trata de encontrar un círculo tangente a tres círculos dados de diferentes radios.
Este problema fue presentado por Pappus como el décimo y más difícil del Tratado de contactos , una de las obras perdidas de Apolonio. En efecto, habrá que esperar hasta las 1600 para su resolución por parte de François Viète, quien demostrará que admite un máximo de ocho soluciones. Por eso en Apolonio Galo , resolverá los diez problemas que se presentan a continuación (sin tratar los casos particulares).
El Tratado de contactos , obra perdida de Apolonio , proponía determinar círculos restringidos a tres condiciones tomadas de entre las que consisten en pasar por un punto dado, o ser tangente a una línea o círculo dado, que corresponde a diez problemas designados. por los símbolos PPP, DDD, PPD, PPC ... representando un punto por P, una línea por D y un círculo por C.
Este tratado se menciona en el IV ° siglo por Pappus de Alejandría en el séptimo libro de su Colección Matemática , que ofrece una resolución de sólo parcial.
El problema es estudiado por los matemáticos del Islam medieval, Ibn al-Haytham e Ibrahim ibn Sinan, quienes lo tratan hasta el final, sin hacer, sin embargo, un estudio exhaustivo de todos los casos (sobre el tamaño de los círculos o su alineación). Sin embargo, estos estudios no son conocidos en Europa en el XVI ° siglo.
Al XVI th también están interesados matemáticos del siglo Europeo en su resolución sin llegar a proporcionar una solución euclidiana (es decir construible con regla y compás ). Para Regiomontanus , por ejemplo, no se puede solucionar el último problema (el de los 3 círculos) sin utilizar cónicas.
En una controversia científica sobre la existencia o no de los matemáticos franceses de la calidad al final de la XVI ª siglo, Francois Vieta demostrar en primer lugar que es capaz de resolver una ecuación compleja que Adrien Romain había enviado un conjunto de matemáticos de Europa. Luego, a modo de reciprocidad, pídale a Adrien Romain que le dé una solución al último problema de Apolonio, tarea que Adrien Romain realiza mediante intersecciones de hipérbole.
De hecho, la condición para que dos círculos con centros C y C 1 y centro r y r 1 sean tangentes es que CC 1 = r + r 1 o | r - r 1 | . Para que el círculo con centro C sea tangente a dos círculos, se necesitan dos iguales. Por sustracción y eliminación de los casos que no dan nada, la condición para que el círculo con centro C sea tangente a los círculos con centros C 1 y C 2 se escribe en la forma | CC 1 - CC 2 | = r 2 + r 1 o | r 2 - r 1 | que se refiere a la definición bifocal de una hipérbola .François Viète, no satisfecho con ver una solución no construible para la regla y el compás , publica su Apollonius gallius ( El Apolonio francés ) para demostrar que un francés vale tanto como un belga o un romano. Ofrece una resolución completa de los 10 problemas pero sin discusión de existencia o análisis de todas las configuraciones.
La resolución de Viète no detiene la investigación. René Descartes en 1643, en su correspondencia con Isabel de Bohemia, propone una resolución algebraica, antes de dar su teorema de Descartes en el caso donde los tres círculos son tangentes. También es el camino algebraico y trigonométrico tomado por Leonhard Euler en su Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, que datostres circulos tangat de 1790
El desarrollo de herramientas geométricas con la noción de eje radical de la recta polar , de la inversión y la definición explícita de la potencia de un punto por Jakob Steiner llevó Gergonne al principio del XIX ° siglo, con una resolución muy concisa: Hay 6 centros de homotecia transformando uno de los círculos en otro, la resolución propuesta por Gergonne consiste, a partir de los 6 centros de homotecia, en tomar su polar con respecto a los dos círculos en cuestión, lo que da 12 polares, estos 12 polares dibujan paralelogramos de los cuales tomamos las diagonales. Las 12 diagonales obtenidas llevan todos los puntos de tangencia de los círculos-soluciones al problema. Podemos aligerar la construcción, como propone Hadamard en sus lecciones de geometría, notando que los 6 centros de homotecia están alineados tres por tres en 4 líneas rectas. Para cada línea, construimos los 3 polos de la línea en relación con los 3 círculos. Por cada polo, llevamos una línea que pasa por el centro radical de los tres círculos, los puntos de intersección (si existen) de esta línea con el círculo asociado al polo son los puntos de tangencia del par de círculos-soluciones con el círculo en cuestión.
El objetivo, al final del XIX e siglo, es proponer métodos que también pueden integrar los casos particulares y clasificar las configuraciones en función de su número de soluciones. Este esfuerzo de clasificación y continúa en el XX XX y XXI th siglos.
Este problema, que ahora parece ser estudiado sólo con fines educativos, en ocasiones esconde desarrollos sorprendentes como el avistamiento de armas enemigas durante la guerra de 14-18 y da lugar a extensiones como el fractal baderne de Apolonio .
Esta sección describe las construcciones clásicas de regla y compás de puntos de contacto o centros buscados, utilizando configuraciones que involucran las propiedades del círculo, la homotecia y la potencia de un punto con respecto a un círculo . Comienza recordando las construcciones de tangentes (que pueden verse como casos particulares de problemas de contacto, considerando las líneas como círculos de radio infinito).
Tangentes a un círculo Tangente en un punto del círculoDesde un punto A ubicado en un círculo con centro O podemos conducir una tangente a este círculo dibujando la perpendicular en A al radio [OA]. El diagrama muestra un método: partiendo del punto B simétrico de O comparado con A, se construye la bisectriz perpendicular de [BO], que es tangente al círculo.
Tangentes a un círculo que pasa por un punto dadoDesde un punto M fuera de un círculo, podemos conducir dos tangentes a este círculo; tocan el círculo en A y B y tenemos MA = MB. La recta (OM) es un eje de simetría de la figura, es la bisectriz del ángulo AMB. Construcción de Euclides : dado un círculo ( c ) de centro O y un punto M fuera del círculo, los puntos de contacto A y B de las tangentes desde M son los puntos de intersección del círculo ( c ) y del círculo de diámetro [ MES].
Potencia de un punto con respecto a un círculoEl principio subyacente consiste en observar que si M es un punto de una tangente en un punto T a un círculo, entonces para cualquier secante al círculo en A y B que pasa por M, tenemos MA.MB = MT²
Círculo que pasa por dos puntos dados y tangente a una línea determinadaSean M 1 y M 2 dos puntos dados y (d) la recta, se trata de encontrar el punto de tangencia T del círculo a encontrar con la recta (d). En este ejemplo, elegimos M 1 y M 2 en el mismo semiplano y con (M 1 M 2 ) intersectando (d) en I.
Sabemos que IT² debe ser igual a IM 1 .IM 2 . La longitud IT, se calcula entonces usando un triángulo IM 1 H rectángulo H del cual M 2 es el pie de la altura resultante de H. Sabemos, de hecho, por la propiedad del triángulo rectángulo, que IH² = IM 1 .IM 2 . Es suficiente diferir esta distancia IH en la línea (d) para encontrar una solución del punto T. Observamos que en realidad hay otro punto T 'a la distancia correcta de I, simétrico del punto T con respecto a I que proporciona la segunda solución al problema.
Hay otras construcciones posibles como trabajar sobre las propiedades del ángulo inscrito o trabajar por ajuste: asumiendo que la bisectriz perpendicular de [M 1 M 2 ] se encuentra con la línea en J, construimos un círculo cuyo centro está en la bisectriz perpendicular y que es tangente a (d), una homotecia con centro J permitirá agrandar o reducir el círculo para que pase por M 1 y M 2 (2 soluciones en general).
Círculo que pasa por dos puntos dados y tangente a un círculo dadoSean M 1 y M 2 dos puntos dados y (c) el círculo, tenemos que encontrar el punto de tangencia T de la solución del círculo con el círculo. En este ejemplo, elegimos puntos fuera del círculo y no simétricos con respecto al radio del círculo (c).
El objetivo consiste en buscar primero un punto I que tenga la misma potencia con respecto a los dos círculos. Construimos un círculo auxiliar que pasa por M 1 y M 2 y se encuentra con el círculo (c) en P y P '. Las rectas (PP ') y (M 1 M 2 ) se encuentran en I. Las tangentes de I proporcionan los puntos de solución T. De hecho:
IT² = IP.IP '= IM 1 .IM 2 . Círculo tangente a dos círculos dados que pasan por un punto dadoLa idea es reemplazar la restricción en un círculo con una restricción en un punto. Para ello estudiamos las propiedades de un círculo tangente a dos círculos.
Damos dos círculos ( c 1 ), ( c 2 ) con centros O 1 , O 2 , de diferentes radios r 1 y r 2 y un círculo ( c ) tangente a estos dos círculos.
Hay dos homotecias H (S, r 2 / r 1 ) y H (S ', - r 2 / r 1 ) transformando ( c 1 ) en ( c 2 ).
Los puntos S y S 'centros de homotecia de los círculos son los puntos que comparten el segmento [O 1 O 2 ] en las relaciones ± r 1 / r 2 .
Si un círculo ( c ) es tangente a los círculos ( c 1 ) y ( c 2 ) en T y T ', la línea (TT') que une los puntos de contacto pasa por un centro de homotecia. De hecho, existe una homotecia del centro T que se transforma ( c 1 ) en ( c ) y una homotecia del centro T 'que se transforma ( c ) en ( c 2 ), que, cuando se combinan, da una de las dilataciones precedentes. Los centros de estas tres homotecias están, por tanto, alineados. La potencia p del centro de homotecia con respecto al círculo variable ( c ) es constante.
p = ST × ST '= ST × ST 1 × ST' / ST 1 = ST × ST 1 × r 2 / r 1 .Obtenemos la potencia del punto S con respecto al círculo ( c 1 ) multiplicado por la razón de los radios.
Si U y U 'son los puntos de intersección de ( c 1 ) y ( c 2 ) con la línea de los centros, la potencia del punto S con respecto al círculo de diámetro [UU'] es p = SU × SU '.
Si ahora estamos buscando un círculo que pase por un punto M 1 y tangente a los dos círculos, construiremos un punto M 2 que sabremos que pertenece al círculo correcto . Se busca como el punto de intersección del círculo buscado con la línea (SM 1 ). Sabemos que este punto debe verificar p = SM 1 .SM 2 = SU.SU '. Este punto es, por tanto, la intersección del círculo UU'M 1 con (SM 1 ).
Solo queda encontrar el círculo tangente a ( c 1 ) y que pasa por M 1 y M 2 . El otro centro de homotecia conducirá a la construcción de otro punto.
Círculo que pasa por un punto dado y tangente a una línea y un círculo determinadosComo antes, la idea es reemplazar el círculo con un punto estudiando las propiedades de un círculo (c) tangente a un círculo y a una línea.
En el ejemplo opuesto, donde (c) y (c 1 ) son tangentes en el exterior, los puntos S y S 'son los extremos del diámetro de (c 1 ) perpendiculares a (d). El objetivo es mostrar que la potencia p de S con respecto al círculo (c) es independiente de (c). Denotamos por H la proyección ortogonal de S sobre (d), T el punto de tangencia de los dos círculos y T 'el de la recta y del círculo (c). Los puntos S, T y T 'están alineados porque los círculos son homotéticos con el centro T.
La potencia de S con respecto a (c) es p = ST.ST '.
Los triángulos STS 'y SHT' son similares porque los rectángulos comparten el mismo ángulo, por lo tanto, ST / SH = SS '/ ST'. Por producto cruzado p = ST.ST '= SH.SS'.
Si, ahora, estamos buscando un círculo que pase por un punto M 1 y sea tangente al círculo y a la línea, primero construiremos un punto M 2 que sabremos que pertenece al círculo correcto . Se busca como el punto de intersección del círculo buscado con la línea (SM 1 ). Sabemos que este punto debe verificar p = SM 1 .SM 2 por lo tanto SM 1 .SM 2 = SH.SS '. Por tanto, este punto es la intersección del círculo HS'M 1 con (SM 1 ). Se puede hacer un razonamiento similar con círculos internamente tangentes usando S '.
Volvemos así al problema de encontrar un círculo que pase por dos puntos y sea tangente a una línea dada.
La "traducción paralela" de VièteLa idea de Viète es notar que, si sabemos cómo dibujar un círculo que pasa por un punto y tangente a dos objetos (línea o círculo), aumentando o disminuyendo el radio del círculo-solución en un valor r, podemos encontrar un círculo tangente a un círculo de radio r y tangente a otros dos círculos u objetos rectos que han movido su punto de tangencia más o más cerca.
Entonces, para dibujar un círculo tangente externamente a 2 círculos y a una línea, consideramos el círculo más pequeño, reducimos su tamaño a cero mientras reducimos el radio del otro círculo en ry alejamos la línea, estamos buscando el círculo. -solución de la nueva configuración. Bastará disminuir el radio de la solución circular de r para encontrar la solución circular del problema inicial. Si queremos que la solución del círculo y el círculo pequeño se toquen en el interior, debemos, por el contrario, acercar la línea y aumentar el radio del círculo grande, encontrar la solución del nuevo problema y luego aumentar su radio.
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A continuación, los problemas se identificarán por su abreviatura.
Utilizando los lemas que establece (traducción paralela - sustitución de un problema PCX en un problema PPX), Viète propone algoritmos de simplificación de problemas que permiten llegar al problema PPP (círculo circunscrito a tres puntos) dando el siguiente árbol:
El número máximo de soluciones se calcula observando que la solución del círculo puede ser tangente interna o externamente a los otros círculos y que el número máximo de soluciones de la configuración PPD es dos.
En el XIX ° siglo, el debate está relacionado con el número de soluciones, Hadamard, alrededor de 1898, ofrece 11 configuraciones para el problema de los tres círculos con exclusión de los casos límite:
En 2013, Roger Tchangang Tambekou, propuso una clasificación teniendo en cuenta la existencia o no de un círculo separador y según el número total de puntos de intersección entre los círculos. Habla de un doble punto de intersección para un punto común a los tres círculos. Luego propone 17 configuraciones que pueden conducir a un número de soluciones igual a 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 o una infinidad de soluciones.
Número de intersecciones ▶ ▼ La configuración contiene: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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un círculo estrictamente separador | 0 sol. | ||||||
sin círculo de separación , círculo tangente o doble punto |
8 sol. | 4 sol. | 4 sol. | 8 sol. | |||
ni círculo separador ni doble punto 1 o 2 círculos tangentes |
6 sol. | 5 sol. | 4 sol. | 5 sol. | 6 sol. | ||
tres puntos de tangencia | 5 sol. | ||||||
un círculo de separación, círculos tangentes sin puntos dobles |
2 sol. | 3 sol. | |||||
puntos dobles | ∞ | 2 sol. | 3 sol. | 5 sol. |
y presenta el inventario de casos de PCC y PPC
Número de intersecciones ▶ ▼ La configuración contiene | 0 | 1 | 2 | 3 |
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un círculo estrictamente separador | 0 sol. | |||
sin círculo de separación , círculo tangente o doble punto |
4 sol. | 2 sol. | 2 sol. | 2 sol. |
ni círculo separador ni círculos tangentes de doble punto |
3 sol. | 2 sol. | ||
círculo que separa la tangente | 1 piso. | |||
un doble punto | ∞ | 1 piso. |
El caso PPC tiene solo tres configuraciones: si el círculo se está separando, no hay solución, si un punto está en el círculo, solo hay una solución, de lo contrario hay 2.