Promedio de volumen

El volumen promedio de decisión , a menudo denominado por su nombre en inglés, volumen promedio es una técnica matemática de escalado ampliamente utilizada en el estudio de medios porosos, el objetivo es crear modelos macroscópicos a partir de problemas a escala microscópica. Históricamente, esta técnica ha permitido a varios autores en 1967 obtener la ley de Darcy , válida a escala macroscópica, promediando el flujo de Stokes a escala microscópica. Este problema se aborda aquí, pero la técnica utilizada se extiende a muchos otros campos como la difusión de la materia , la conducción térmica o la mecánica de los medios continuos .

Es una alternativa al método de homogeneización matemática por expansión asintótica .

Descripción microscópica / macroscópica

La descripción de los fenómenos físicos en un medio poroso se puede realizar a diferentes niveles:

La escala microscópica de longitud característica que es la escala del poro, un espacio vacío en el que circula el fluido. La noción de fluido debe tomarse aquí en un sentido amplio: puede ser un flujo monofásico (líquido o gas) o bifásico (gas / líquido o líquido / líquido). Las interacciones entre las fases (tanto fluido-sólido, pero también fluido-fluido en el caso de un flujo multifásico) se tienen en cuenta a través de las condiciones en la interfaz de estas dos fases. ${\ Displaystyle l _ {\ beta}}$
Una escala mayor que se denominará escala macroscópica de longitud característica es por su parte del orden de magnitud de las dimensiones del sistema. Se caracteriza porque donde q representa el valor promedio de cualquier cantidad que describa el medio. $L$ ${\ Displaystyle L = {\ frac {q} {| \ nabla q |}}}$

Los dos niveles de detalle presentados anteriormente generalmente difieren en varios órdenes de magnitud. Por ejemplo, la longitud característica del flujo microscópico en una columna de adsorción que contiene perlas es del orden de un milímetro, mientras que el orden de magnitud de la escala macroscópica es el de la columna, es decir, digamos el metro. Se supone verificada la hipótesis de separación de las escalas:

{\ Displaystyle l _ {\ beta} \ ll L}

Además se asume que se sabe definir un volumen elemental representativo (VER) del medio, lo que permitirá hacer un supuesto de periodicidad de éste.

Definición de la media de volumen

La noción de la media de una función de valor en una fase es específica del problema que queremos estudiar. Sin embargo, es común definirlo como la integral sobre un volumen definido arbitrariamente. Este volumen contiene un sólido (la estructura porosa) alrededor del cual fluye un fluido. Este último puede ser monofásico o multifásico. Definimos el promedio de volumen por: ${\ Displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ $\beta$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

{\ Displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} \ phi _ { \ beta} d {\ mathcal {V}}}

También definimos la media intrínseca a la fase por: $\beta$

{\ Displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {V }} _ {\ beta}} \ phi _ {\ beta} d {\ mathcal {V}}}

Generalmente, cuando se busca crear un modelo macroscópico a partir de un problema a escala de poros, se buscan las ecuaciones diferenciales que gobiernan los medios intrínsecos en cada fase.

Estos dos medios están relacionados por la relación

{\ Displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ qquad \ epsilon _ {\ beta} = {\ frac {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} {\ mathcal {V}}}}

En el caso de que la fase sea la única fase que fluye a través del volumen , uno puede identificarse con la porosidad del medio. $\beta$ $\ mathcal {V}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ beta}}$

Teorema del promedio de volumen

Tomar el promedio de volumen no es una operación fácil, especialmente con respecto al promedio de una derivada. De hecho, la media de un gradiente es en la mayoría de los casos diferente del gradiente de la media. Las siguientes expresiones, consecuencia del teorema de Leibnitz, nos permiten conectar estas dos operaciones:

- gradiente de una cantidad escalar	${\ Displaystyle \ langle \ nabla \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{ \ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ phi _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$
- divergencia de una cantidad vectorial	${\ Displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ Phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ Phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ Phi _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$

donde está el borde, dentro , entre y las otras fases , y es el vector normal unitario en este borde, dirigido de hacia . ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ $\beta$ $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma}}$ $\beta$ $\ sigma$

La integral expresa a escala macroscópica los efectos en la interfaz entre dos fases (por ejemplo, entre un fluido y la estructura porosa). Es a través de estas integrales que se calculan las propiedades macroscópicas como la permeabilidad.

Ejemplo: obtener la ley de Darcy

La penetración constante del flujo de Stokes de un fluido β de velocidad V β en un medio poroso σ se describe mediante el siguiente sistema

- conservación de momento	${\ Displaystyle - \ nabla p _ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- relación de incompresibilidad	${\ Displaystyle \ qquad \ qquad \; \; \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- condición de frontera fluido-sólido	${\ Displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0 \ quad en \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

p β es la presión y μ β la viscosidad dinámica .

A este sistema hay que añadir las condiciones iniciales y de contorno.

La relación de incompresibilidad se promedia teniendo en cuenta la condición de frontera ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

{\ Displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

Si estamos interesados en la media intrínseca en β para un medio no homogéneo, tenemos

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ { \ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Promediar la conservación del impulso, que es más difícil, da como resultado la ecuación

{\ Displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot {\ mathsf {T}} \ mathrm {d} A = 0}

donde es un tensor que expresa la interacción del fluido con el medio sólido. ${\ Displaystyle {\ mathsf {T}}}$

Demostración

Descomposición gris

Desde un punto de vista macroscópico, cualquier campo variable microscópico puede verse como la contribución de un campo medio y de una perturbación (o fluctuación espacial) . La descomposición de Gray (análoga a la descomposición de Reynolds ) se escribe ${\ Displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta}}$

{\ Displaystyle \ phi _ {\ beta} = \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ ,, \ qquad \ langle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Gradiente de presión promedio

Usando la descomposición de Gray y la media intrínseca

{\ Displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p_ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Oro

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = {\ frac {\ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = - \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta}}

Entonces

{\ Displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Promedio de la velocidad laplaciana

Aplicando el método utilizado para la presión y descuidando el gradiente de la pequeña escala se trata ${\ Displaystyle \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$

{\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle & = & \ nabla \ cdot \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V }}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}} } _ {\ beta} \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ right) - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ end {matriz}}}

Y, teniendo en cuenta la condición limitante líquido-sólido

{\ Displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle - \ nabla \ épsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm { d} A}

Promedio de la conservación del impulso

Esto esta escrito

{\ Displaystyle - \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle + \ mu _ {\ beta} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

O insertando las expresiones medias anteriores

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} 0 & = & - \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ izquierda (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta } \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } + \ mu _ {\ beta} \ left (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta }}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal { V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- { \ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \ end {matriz}}}

Suponemos una variación espacial "lenta" de la porosidad, luego

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ quad {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta } \ rangle ^ {\ beta}}

La conservación del impulso se simplifica mediante

{\ Displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V} } _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A = 0}

El último término de la ecuación es la corrección de Brinkman .

Este tensor se puede expresar en el caso de un medio periódico

{\ Displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ mu _ {\ beta} \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

donde está el tensor de permeabilidad . ${\ Displaystyle {\ mathsf {K}}}$

Demostración

Introduciendo las descomposiciones de py V en la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos

{\ Displaystyle - \ nabla \ langle {\ tilde {p}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle {\ tilde {\ mathbf { V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A = 0}

La incompresibilidad está escrita

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = 0}

Y la condición de frontera

{\ Displaystyle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = - \ mathbf {V} _ {\ beta} \ quad en \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma} }

Además asumimos que la fluctuación de velocidad de media cero

{\ Displaystyle \ langle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

La periodicidad del tamaño l i se escribe

{\ Displaystyle {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i}) \ ,, \ qquad {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i}) }

Nos damos el siguiente ansatz

{\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ tilde {p}} _ {\ beta} & = & \ mu _ {\ beta} \ mathbf {b} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \\ [0.5em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} & = & {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ end {array}}}

Entonces podemos escribir la conservación de la cantidad de movimiento en la forma

{\ Displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \, \ underbrace {{\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- \ mathbf {b} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A} _ {- \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1}} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

Podemos reescribir esta ecuación en la siguiente forma, llamada ecuación de Darcy-Brinkman

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac { {\ mathsf {K}} _ {\ beta}} {\ mu _ {\ beta}}} \ cdot \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

con

{\ Displaystyle {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ mathbf {V } _ {\ beta} \ rangle}

Por lo tanto, este término puede despreciarse: terminamos así con la ley de Darcy en un medio periódico anisotrópico.

Referencias

CM Marle, " Flujos monofásicos en medios porosos ", Revue de l ' Institut français du petroleum , vol. 22, n o 10,1967, p. 1471-1509
(en) TB Anderson y R. Jackson, " Una descripción mecánica de fluidos de lechos fluidizados " , Fundamentos de química industrial y de ingeniería , vol. 6,1967, p. 527-538
(en) JC Slattery, " Flujo de fluidos viscoelásticos a través de medios porosos " , AIChE Journal , vol. 13,1967, p. 1066-1071
(en) S. Whitaker, " Difusión y dispersión en medios porosos " , AIChE Journal , vol. 13,1967, p. 420-427
(en) Stephen Whitaker, el método del promedio volumétrico , Kluwer Academic Publishers ,2010, 471 p. ( ISBN 978-3-642-05194-4 , leer en línea )
(in) WG Gray, " Una derivación de las ecuaciones para el transporte multifásico " , Ciencia de la ingeniería química , vol. 30,1975, p. 229-233
(in) HC Brinkman, " Un cálculo de la fuerza viscosa ejercida por un fluido que fluye fue un enjambre denso de partículas " , Investigación científica aplicada , vol. A1,1949, p. 1-27