Potencial de Yukawa
Un potencial de Yukawa (también llamado ' potencial de Coulomb filtrado' ) es un potencial de la forma
V(r)=-gramo2mi-metrorr{\ Displaystyle V (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- mr}} {r}}}![{\ Displaystyle V (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- mr}} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c325a7a60f27cce34ad567498919c4aa8b8d45)
Hideki Yukawa demostró en la década de 1930 que tal potencial surge del intercambio de un campo escalar masivo como el de un pión masivo . La partícula mediadora del campo que tiene una masa, la fuerza correspondiente tiene un rango inversamente proporcional a su masa. Para masa cero, el potencial de Yukawa se vuelve equivalente a un potencial de Coulomb y su rango se considera infinito.
metro{\ Displaystyle m}![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
En la ecuación anterior, el potencial es negativo, lo que indica que la fuerza es atractiva. La constante g es un número real ; es igual a la constante de acoplamiento entre el campo mesónico y el campo fermiónico con el que interactúa. En el caso de la física nuclear , los fermiones serían el protón y el neutrón .
Obtener el potencial de Yukawa
Empecemos por la ecuación de Klein-Gordon :
∂2Ψ∂X2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2+∂2Ψ∂(Ivst)2=(2πmetro0vsh)2Ψ{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial (ict) ^ {2}}} = \ izquierda ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ derecha) ^ {2} \ Psi}![{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial (ict) ^ {2}}} = \ izquierda ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ derecha) ^ {2} \ Psi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466d77a58b1b85e3f571499123d9ac3773dbf159)
Si el segundo miembro es cero, obtenemos la ecuación de ondas electromagnéticas:
∂2Ψ∂X2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2+∂2Ψ∂(Ivst)2=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial (ict) ^ {2}}} = 0}![{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Psi} {\ parcial (ict) ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a89831d115b500fcf8b14f1aecae726e54a40d)
Si, además, la función de onda es independiente del tiempo, obtenemos la ecuación del campo electrostático, es decir la ecuación de Laplace:
ΔΨ=0{\ Displaystyle \ Delta \ Psi = 0}![{\ Displaystyle \ Delta \ Psi = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32206d1a70702a1732254aba0b005feb6637a828)
Finalmente, en simetría esférica en función de la distancia r a la carga puntual, obtenemos la ecuación de Laplace del campo de Coulomb:
1r2DDr(r2DΨDr)=0{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d03f4e1c6def8174520d8e9516a8f69017a426)
El potencial de Yukawa tiene simetría esférica y es estático, pero mantiene la segunda rama. La ecuación de Klein-Gordon se convierte en:
1r2DDr(r2DΨDr)=(2πmetro0vsh)2Ψ{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) ^ {2} \ Psi}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) ^ {2} \ Psi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f808228adab1bd40f32ae64b1660e4f65eddd2f1)
donde estaría la masa del mesón o pión . La solución físicamente aceptable para esta ecuación diferencial es el potencial de Yukawa o V (r) (la función de onda se convierte en potencial):
metro0{\ Displaystyle m_ {0}}
Ψ(r){\ Displaystyle \ Psi (r)}![{\ Displaystyle \ Psi (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaf12682ec8130ecf4223226a39d5c3b601ed36)
Ψ(r)=-gramo2mi-(2πmetro0vsh)rr=-gramo2mi-2πrλVSr{\ Displaystyle \ Psi (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) r} } {r}} = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi r} {\ lambda _ {C}}}}} {r}}}![{\ Displaystyle \ Psi (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) r} } {r}} = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi r} {\ lambda _ {C}}}}} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df16918228f8f6b237fd808b7ed1aaca180c0d50)
donde es la longitud de onda de Compton. El potencial es negativo porque es una fuerza vinculante, la interacción fuerte, el potencial de atracción entre dos nucleones a una distancia r. Su rango, de , radio del protón, corresponde a una masa , la del mesón cuya existencia fue así predicha por Yukawa.
λVS{\ Displaystyle \ lambda _ {C}}
10-15metro{\ displaystyle 10 ^ {- 15} m}
metro0=140METROmiV{\ Displaystyle m_ {0} = 140MeV}![{\ Displaystyle m_ {0} = 140MeV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8617013c4c4d8e7eeb47bb83f7b5d4f03653bf)
Aplicación del principio de incertidumbre
Podemos hacer un cálculo aproximado. El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede escribir:
Δmi×Δt≥ℏ{\ Displaystyle \ Delta E \ times \ Delta t \ geq \ hbar}![{\ Displaystyle \ Delta E \ times \ Delta t \ geq \ hbar}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302d05d0cdb0bf0ebe7bf493d17d22f5f6fb4e00)
Supongamos que la incertidumbre en el tiempo es igual al tiempo de la interacción en sí (tendremos así un mínimo ya que será el máximo) y calculemos . Se tiene:
Δmi{\ Displaystyle \ Delta E}
Δt{\ Displaystyle \ Delta t}
ΔmimetroIno{\ Displaystyle \ Delta E_ {min}}![{\ Displaystyle \ Delta E_ {min}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f74a87ce2b043193bc75bc3e29439fef140cc7)
Δt=DImetrominosIono Dmi la vsIBlmi (pagrotono Dmi rayono 1 Fmetro=10-15metro)vItmissmi Dtu pagrojmivstIlmi (vs)=RPAGvs{\ Displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ mathrm {dimensión ~ de ~ el ~ objetivo ~ (protón ~ de ~ radio ~ 1 ~ fm} = 10 ^ {- 15} \ mathrm {m)}} {\ mathrm {velocidad ~ del ~ proyectil ~ (} c \ mathrm {)}}} = {\ frac {R_ {P}} {c}}}![{\ Displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ mathrm {dimensión ~ de ~ el ~ objetivo ~ (protón ~ de ~ radio ~ 1 ~ fm} = 10 ^ {- 15} \ mathrm {m)}} {\ mathrm {velocidad ~ del ~ proyectil ~ (} c \ mathrm {)}}} = {\ frac {R_ {P}} {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a12616a49c57d74cf608ac80f8d60abf283b0c)
ΔmimetroIno=ℏΔtmetroaX=ℏvsRpag=6,6,10-34×3.1082π×1015=3,2.10-11J=3,2.10-11×6,24.1018=200METROmiV{\ Displaystyle \ Delta E_ {min} = {\ frac {\ hbar} {\ Delta {t_ {max}}}} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}} = {\ frac {6 , 6.10 ^ {- 34} \ times 3.10 ^ {8}} {2 \ pi \ times 10 ^ {15}}} = 3,2.10 ^ {- 11} J = 3,2.10 ^ {- 11} \ times 6 , 24,10 ^ {18} = 200MeV}
Encontramos un valor del orden de magnitud esperado.
Obtenemos exactamente el mismo resultado utilizando la relación de De Broglie de la materia de onda aplicada a la longitud de onda de Compton de la protones :
metro=hλv=hλPAGvs=ℏRPAGvs{\ Displaystyle m = {\ frac {h} {\ lambda v}} = {\ frac {h} {\ lambda _ {P} c}} = {\ frac {\ hbar} {R_ {P} c}} }![{\ Displaystyle m = {\ frac {h} {\ lambda v}} = {\ frac {h} {\ lambda _ {P} c}} = {\ frac {\ hbar} {R_ {P} c}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c03dfd62357dec6ae0d7a10ca8f12fffaecd442)
que da la misma aproximación de la energía del mesón:
metrovs2=ℏvsRpag{\ displaystyle mc ^ {2} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}}}
Transformada de Fourier
La forma más fácil de entender que el potencial de Yukawa está asociado con un campo masivo es mirar su transformada de Fourier . Se tiene
V(r)=-gramo2(2π)3∫miIk⋅r4πk2+metro2D3k{\ Displaystyle V (r) = {\ frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\ frac { 4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} \; d ^ {3} k}![{\ Displaystyle V (r) = {\ frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\ frac { 4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} \; d ^ {3} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9022b096e7cb5ca171abd676ca92d8b6d41b3f4)
donde la integral se calcula sobre todos los valores posibles del vector de momento k . De esta forma, podemos ver la fracción
como el propagador o la función de Green de la ecuación de Klein-Gordon .
4π/(k2+metro2){\ Displaystyle 4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}![{\ Displaystyle 4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd68d4aba63066ea369cdb5b73b473f2dddc4e03)
Amplitud de Feynman
El potencial de Yukawa se puede deducir como la amplitud de la interacción de un par de fermiones de primer orden. La interacción Yukawa acopla el campo fermiónico al campo mesónico con el término de acoplamiento
ψ(X){\ Displaystyle \ psi (x)}
ϕ(X){\ Displaystyle \ phi (x)}![\ phi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546b660b2f3cfb5f34be7b3ed8371d54f5c74227)
LInot(X)=gramoψ¯(X)ϕ(X)ψ(X){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} (x) = g {\ overline {\ psi}} (x) \ phi (x) \ psi (x)}![{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} (x) = g {\ overline {\ psi}} (x) \ phi (x) \ psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff75a5b233e58f1b9da2e4290707dedd9b62d3cd)
La amplitud de difusión de dos fermiones, uno con momento inicial y otro con momento , que intercambian un mesón de momento k , viene dada por el diagrama de Feynman de la derecha.
pag1{\ Displaystyle p_ {1}}
pag2{\ Displaystyle p_ {2}}![p_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319)
Las reglas de Feynman asocian para cada vértice un factor multiplicativo g con la amplitud; teniendo este diagrama dos vértices, la amplitud total se verá afectada por un factor multiplicativo . La línea media que conecta las dos líneas de fermiones representa el intercambio de un mesón. Según la regla de Feynman, un intercambio de partículas implica el uso del propagador; para un mesón masivo, este último es . Por lo tanto, la amplitud de Feynman para este gráfico es simplemente
gramo2{\ Displaystyle g ^ {2}}
-4π/(k2+metro2){\ Displaystyle -4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}![{\ Displaystyle -4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9729868cef1666f4faf0a4120134ee16faf3080a)
V(k)=-gramo24πk2+metro2{\ Displaystyle V (\ mathbf {k}) = - g ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}}}![{\ Displaystyle V (\ mathbf {k}) = - g ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe80d4a895283aa4c75ea8aa3dd8778b8530cb1)
De la sección anterior, podemos ver claramente que esta es la transformada de Fourier del potencial de Yukawa.
Referencias
-
Escoubès, B, Leite Lopes, J, Fuentes y evolución de la física cuántica, Textos fundacionales, EDP Sciences, 2005
-
Foos, J, Manual de radiactividad para usuarios, Formascience, Orsay, 1993
-
(en) Gerald Edward Brown y AD Jackson, The Nucleon-Nucleon Interaction , (1976) North-Holland Publishing, Amsterdam ( ISBN 0-7204-0335-9 )
Ecuación de Klein-Gordon
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