Transformación polar recíproca

En matemáticas , y más precisamente en geometría , la transformación por polares recíprocos es una transformación que asocia a una curva otra curva construida mediante rectas tangentes a la primera. La curva de la imagen se denomina curva dual de la curva inicial.

Definición

Consideramos una curva plana $Γ 0$ . La curva polar en el punto $M 0 ( x 0 ( t ), y 0 ( t ))$ de $Γ 0$ con respecto a un círculo ( C ) (o del círculo director ( C )) es la envolvente de los polos de los puntos de $Γ 0$ con respecto a ( C ); por lo tanto, es el conjunto de los polos de las tangentes a $Γ 0 en$ comparación con ( C ).

Ecuaciones

El polar con respecto al círculo con centro O y radio $r$ y un punto $M 0 ( x 0 , y 0 )$ es la línea de puntos $M ( x , y )$ tal que $x 0 x + y 0 y = r 2$ .

Si $M 0 ( x 0 ( t ), y 0 ( t ))$ es el punto de una curva de corriente $Γ 0$ , el punto actual $M ( x ( t ), y ( t ))$ de la polar de $Γ 0$ se define, en coordenadas cartesianas, por

{\ Displaystyle {\ begin {cases} x (t) = {\ dfrac {r ^ {2}} {x_ {0} (t) y_ {0} '(t) -y_ {0} (t) x_ { 0} '(t)}} y_ {0}' (t) \\ y (t) = - {\ dfrac {r ^ {2}} {x_ {0} (t) y_ {0} '(t) -y_ {0} (t) x_ {0} '(t)}} x_ {0}' (t) \ end {cases}}}

o, en coordenadas complejas:

{\ Displaystyle z (t) = 2r ^ {2} {\ frac {z_ {0} '(t)} {z_ {0}' (t) {\ overline {z_ {0} (t)}} - z_ {0} (t) {\ overline {z_ {0} '(t)}}}}.}

Por tanto, la "polarización" intercambia las nociones de punto de una curva y tangente a la curva.

Polar de una cónica

El polar de una cónica con respecto a un círculo centrado en un punto focal de la cónica es un círculo centrado en el polo de la directriz.

Demostración

Tomando el origen en el foco, definimos la cónica por su ecuación polar . El polo de una tangente se encuentra en la perpendicular a la que pasa por el foco (el origen). Por lo tanto, tiene el ángulo polar donde denota el ángulo entre y la tangente. $\ rho = {\ frac p {1-e \ cos \ theta}}$ $\ theta + V + {\ frac \ pi 2}$ $V$ $(OM)$

Ahora sabemos que el polo está en división armónica con la proyección del foco en la tangente y la intersección con el círculo.

La distancia desde el foco a la tangente vale la pena que el polo buscado esté, por lo tanto, a la distancia $d = \ rho \ cos (V + {\ frac \ pi 2}) = - \ rho \ sin V$ ${\ frac {R ^ {2}} d}$

Por tanto, las coordenadas del polo son ${\ Displaystyle x = {\ frac {R ^ {2}} {d}} \ cos (\ theta + V + {\ frac {\ pi} {2}}) = {\ frac {R ^ {2}} {\ rho}} \ left [{\ frac {\ sin \ theta} {\ tan V}} + \ cos \ theta \ right]}$

y ${\ Displaystyle y = {\ frac {R ^ {2}} {d}} \ sin (\ theta + V + {\ frac {\ pi} {2}}) = {\ frac {R ^ {2}} {\ rho}} \ left [{\ frac {\ sin \ theta} {\ tan V}} + \ cos \ theta \ right]}$

Pero $\ \ tan V = {\ frac \ rho {\ rho '}} = - {\ frac {1-e \ cos \ theta} {e \ sin \ theta}}$

de donde ${\ Displaystyle x = {\ frac {R ^ {2}} {p}} (1-e \ cos \ theta) \ left [{\ frac {e \ sin ^ {2} \ theta} {1-e \ cos \ theta}} + \ cos \ theta \ right] = {\ frac {R ^ {2}} {p}} (\ cos \ theta -e)}$

y ${\ Displaystyle y = - {\ frac {R ^ {2}} {p}} (1-e \ cos \ theta) \ left [- {\ frac {e \ sin \ theta \ cos \ theta} {1- e \ cos \ theta}} - \ sin \ theta \ right] = - {\ frac {R ^ {2}} {p}} \ sin \ theta}$

de donde resulta sin dificultad: ${\ Displaystyle \ left (x + {\ frac {eR ^ {2}} {p}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {R ^ {4}} {p ^ { 2}}}.}$

Obtenemos así un círculo de centro que es el polo de la recta de ecuación, es decir, la directriz. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {eR ^ {2}} {p}}, O \ right)}$ ${\ Displaystyle X = - {\ frac {p} {e}}}$

Propiedades

La transformación por polares recíprocos es una involución: el polar de un polar con respecto al mismo círculo es igual a la curva inicial.
El polar no debe confundirse con la curva inversa . Además, la inversa del polar con respecto al mismo círculo es la curva del pie .
El polar de una curva algebraica es una curva algebraica cuyo grado es igual a la clase de la curva inicial (es decir, el grado de la ecuación tangencial).

Ejemplos de

Curva de inicio	Posición del centro del círculo de dirección en relación con la curva inicial	Posición del centro del círculo director con respecto a la polar.	Polar
Línea (polar del punto)	A la derecha	Diferente al punto	Punto (polo de la línea)
Cónico			Cónico
	Foco de la cónica		Circulo
	Dentro de la cónica (es decir, en una región que contiene un foco)		Elipse
	Fuera de la cónica		Hipérbola
	En la cónica		Parábola
Cardioide	Cúspide	Centrarse en 8/9 ésimo del segmento que une el punto doble en la parte superior	Cúbico de Tschirnhausen
Cardioide	Centro del círculo concoidal	Casa	Trisectrix de Maclaurin
Deltoides	Centrar	pico de la montaña	Duplicador cúbico
Astroide	Centrar	Centrar	En forma de cruz
Cicloide central	Centrar	Centrar	Oído
Espiral sinusoidal con parámetro $α$	Centrar	Centrar	Parámetro sinusoidal espiral $- α / α +1$

Extensiones a superficies tridimensionales

El concepto de polar recíproco puede extenderse a superficies en el espacio; la superficie transformada se convierte entonces en otra superficie.

Ver también

Referencias

Jacques Lentheric, " Teoría general del plano polar recíproca ", Annals of Mathematics News , 1 st serie, vol. 8,1849, p. 252-266
L. Quantin de ROERE " desarrollable formado con un normales cuádricas " Annals of Mathematics News , 5 º Series, vol. 1,1922, p. 153-159 ( leer en línea )
Pierre Papillon, " Sobre las superficies polares recíprocos de conoides ", Anales de la Facultad de Ciencias de Toulouse , 3 rd series, vol. 25,1933, p. 239-256 ( leer en línea )

Jean-Denis Eiden, geometría analítica clásica , Calvage & Mounet,2009( ISBN 978-2-91-635208-4 ) ;
Bruno Ingrao, Cónicas proyectivas, afines y métricas , Calvage & Mounet,2011( ISBN 978-2916352121 ).