Deltoides (curvo)

El deltoides no es más que un hipocicloide con tres cúspides . Su forma se parece un poco a la letra griega mayúscula delta , de ahí su nombre. Este ejemplo de ruleta fue estudiado por primera vez por Leonhard Euler en 1745.

Ecuaciones paramétricas

Al escribir la posición del punto de un círculo de radio de rodadura sin deslizarse dentro de un círculo de radio , obtenemos la siguiente ecuación paramétrica: $a$ $3a$

x = 2a \ cos (t) + a \ cos (2t) \,

y = 2a \ sin (t) -a \ sin (2t) \,

La ecuación cartesiana tiene la forma:

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} +18 (x ^ {2} + y ^ {2}) = 8x ^ {3} -24y ^ {2} x + 27

lo que muestra que esta curva es algebraica de grado 4. Tiene tres puntos singulares (las tres cúspides), y es de género cero.

Propiedades geométricas

La longitud del deltoides es de 16 a . El área del dominio limitado por el deltoides es . ${\ Displaystyle 2 \ pi a ^ {2}}$
Una regla cuyos dos extremos se ven obligados a deslizarse sobre el deltoides llega tangente al deltoides en un tercer punto: el punto de tangencia describe el deltoides dos veces cuando los extremos lo describen solo una vez.
La envolvente de las líneas de Simson de un triángulo es un deltoides (llamado deltoides Steiner , este teorema se debe a Jakob Steiner ).
La involuta del deltoides tiene la ecuación cartesiana

x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0,

Tiene un doble punto en el origen, que se puede verificar realizando una rotación imaginaria y → iy, que da como resultado la ecuación:

x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0

curva que tiene un punto doble en el origen en .

\ mathbb {R} ^ {2}

El cáustico de un deltoides, cuya fuente de luz está en el infinito, es un astroide , independientemente de la dirección de la fuente.

Bibliografía

Jacques Hadamard , Sobre el hipocicloide de tres cúspides , Gaceta matemática, vol. 29 (1945), pág. 66-67

Referencias

A. Bouvier , M. George, F. Le Lionnais , Diccionario de matemáticas , PUF (1979)
(en) Jeffrey A. Boyle, " Usar círculos rodantes para generar resultados cáusticos y envolventes a partir de la luz reflejada " , Amer. Matemáticas. Mensual , vol. 122, n o 5,Mayo de 2015, p. 452-466 ( leer en línea )

Ver también