La paradoja de Cantor o paradoja del mayor cardenal , es una paradoja de la teoría de conjuntos cuyo argumento fue descubierto por Georg Cantor en la década de 1890 se encuentra en su carta a David Hilbert , fechada en 1897. Es así llamado por Bertrand Russell en sus Principios de Matemáticas de 1903. La paradoja afirma que la existencia de un cardenal mayor conduce a una contradicción. En una teoría de conjuntos demasiado ingenua, que considera que cualquier propiedad define un conjunto, esta paradoja es efectivamente una antinomia, una contradicción deducida de la teoría, ya que el cardinal de la clase de todos los conjuntos sería entonces el cardinal mayor. Pero este no es el caso de Cantor, quien, además, nunca habló de una paradoja. Para él, esto muestra que el mayor cardenal, si puede definirse a sí mismo de cierta manera, no es un conjunto : reformulado en términos modernos y en una teoría axiomática de conjuntos desconocida para Cantor, la clase de cardenales no es un conjunto.
Podemos deducir la paradoja de dos formas. Para ambos usamos que todo conjunto tiene un cardinal y, por lo tanto, implícitamente, el axioma de elección .
Para Cantor todo podía estar bien ordenado y tenía un cardenal. Pero podemos eliminar cualquier apelación a la noción de cardinal y, por lo tanto, al axioma de elección en el segundo razonamiento. Sea V la clase de todos los conjuntos (de los cuales el cardenal sería naturalmente el mayor cardenal). Si V es un conjunto, su conjunto de partes P ( V ) también. Entonces, P ( V ) ⊂ V , la identidad define una inyección de P ( V ) en V y contradice el teorema de Cantor. De hecho, hemos demostrado que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto.
De esta forma, se acerca mucho a la paradoja de Russell , y éste además declaró que había llegado a su paradoja analizando la demostración del teorema de Cantor. Al adaptar la demostración del teorema de Cantor a este caso particular, construimos una f inversa a la izquierda de la identidad de P ( V ) en V , y consideramos el conjunto { x ∈ V | x ∉ f ( x )}, cuya intersección con P ( V ) es { x ∈ P ( V ) | x ∉ x }.
La paradoja de Russell tiene la ventaja de ser más simple y de no usar todas las partes de un conjunto, la única propiedad del conjunto es la comprensión irrestricta , que usa solo una vez, y que es exactamente la razón de la paradoja. La paradoja de Cantor también utiliza la comprensión irrestricta, de una manera análoga a la paradoja de Russell que no es correcta en las teorías de conjuntos habituales en la ZFC , pero también cuando afirma que el conjunto de partes de un conjunto es un conjunto, que por otro lado es legal (este es el axioma del conjunto de partes ).
Podemos interpretar la paradoja de Cantor en la teoría de conjuntos habitual , para mostrar, dependiendo de la versión, que la clase de cardinales no es un conjunto, o que la clase V de todos los conjuntos no es un conjunto. Esto es compatible con el análisis de Cantor (ver el artículo sobre la paradoja Burali-Forti ).