Vector operador laplaciano
En el análisis de vectores , el vector Laplaciano es un operador diferencial para campos vectoriales . Tiene muchas similitudes con el operador escalar laplaciano .
Definiciones
En el espacio euclidiano , el vector Laplaciano se define más simplemente colocándose en un sistema de coordenadas cartesiano . En este caso, el vector laplaciano de un campo de cualquier vector A tiene componentes para los componentes Laplaciano de A . En otras palabras, en el espacio tridimensional, si escribimos
A=AXtuX+Aytuy+Aztuz{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = A ^ {x} {\ boldsymbol {u}} _ {x} + A ^ {y} {\ boldsymbol {u}} _ {y} + A ^ {z} {\ boldsymbol {u}} _ {z}},
entonces el vector Laplaciano de A se escribe
ΔA=(ΔAX)tuX+(ΔAy)tuy+(ΔAz)tuz{\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = (\ Delta A ^ {x}) {\ boldsymbol {u}} _ {x} + (\ Delta A ^ {y}) {\ boldsymbol {u}} _ {y} + (\ Delta A ^ {z}) {\ boldsymbol {u}} _ {z}}.
Expresiones en otros sistemas de coordenadas
A partir de la expresión en coordenadas cartesianas, podemos expresar el laplaciano en cualquier otro sistema de coordenadas, ya que una vez definido el nuevo sistema de coordenadas podemos expresar los vectores de la nueva base en función de los de la base cartesiana, al igual que se puede exprese las derivadas parciales en comparación con las nuevas coordenadas de acuerdo con las derivadas parciales en comparación con las coordenadas cartesianas. En tres dimensiones, un método alternativo (pero no mucho más rápido) es usar la fórmula del rotacional del rotacional , que se escribe para cualquier campo vectorial:
∇∧(∇∧A)=∇(∇⋅A)-ΔA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge {\ boldsymbol {A}}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}) - \ Delta {\ boldsymbol {A}}}.
Obtenemos así las siguientes fórmulas:
Coordenadas cilíndricas
En el sistema de coordenadas cilíndrico habitual r , θ , z , tenemos:
ΔA=(∂2Ar∂r2+1r2∂2Ar∂θ2+∂2Ar∂z2+1r∂Ar∂r-2r2∂Aθ∂θ-Arr2)tur+(∂2Aθ∂r2+1r2∂2Aθ∂θ2+∂2Aθ∂z2+1r∂Aθ∂r+2r2∂Ar∂θ-Aθr2)tuθ+(∂2Az∂z2+1r2∂2Az∂θ2+∂2Az∂r2+1r∂Az∂r)tuz{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta A}} = {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ quad \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {r}} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {r}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {r}} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial A ^ {r}} {\ parcial r}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {A ^ {r}} { r ^ {2}}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ theta} } {\ parcial r}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {r}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2}}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {z}} {\ parcial z ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {z}} {\ parcial \ theta ^ {2} }} + {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {z}} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ fiesta al A ^ {z}} {\ parcial r}} \ derecha) {\ boldsymbol {u}} _ {z} \ end {matriz}}}.
Coordenadas esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas habitual r , θ , φ , tenemos:
ΔA=(1r∂2(rAr)∂r2+1r2∂2Ar∂θ2+1r2pecado2θ∂2Ar∂φ2+costoθr2∂Ar∂θ-2Arr2-2r2∂Aθ∂θ-2costoθr2Aθ-2r2pecadoθ∂Aφ∂φ)tur+(2r2∂Ar∂θ-Aθr2pecado2θ+1r∂2(rAθ)∂r2+1r2∂2Aθ∂θ2+1r2pecado2θ∂2Aθ∂φ2+costoθr2∂Aθ∂θ-2r2costoθpecadoθ∂Aφ∂φ)tuθ+(2r2pecadoθ∂Ar∂φ+2r2costoθpecadoθ∂Aθ∂φ+1r∂2(rAφ)∂r2+1r2∂2Aφ∂θ2+1r2pecado2θ∂2Aφ∂φ2+costoθr2∂Aφ∂θ-Aφr2pecado2θ)tuφ{\ Displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {array} {l} \ Displaystyle \ quad \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2} ( rA ^ {r})} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {r}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {r}} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {r}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {2A ^ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {2 \ cot \ theta} {r ^ {2}}} A ^ {\ theta} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {r} \\\ displaystyle + \ left ({\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {r}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial ^ {2} (rA ^ {\ theta})} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} }} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ theta}} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ {\ theta} \\\ displaystyle + \ left ( {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A ^ {r}} {\ parcial \ varphi}} + {\ frac {2} {r ^ {2} }} {\ frac {\ cot \ theta} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ theta}} {\ parcial \ varphi}} + {\ frac {1} {r}} { \ frac {\ parcial ^ {2} (rA ^ {\ varphi})} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ cot \ theta} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A ^ {\ varphi}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {A ^ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ right) {\ boldsymbol {u}} _ { \ varphi} \ end {matriz}}}Aplicaciones
El laplaciano vectorial está presente en particular:
Ver también