En matemáticas , un número primo de Ramanujan es un número primo que satisface un resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan en relación con la función de conteo de los números primos .
En 1919 , Ramanujan publicó una nueva demostración del postulado de Bertrand que, dice, fue demostrado por primera vez por Chebyshev . Al final de las dos páginas publicadas, Ramanujan dedujo un resultado generalizado, que es:
≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... para cualquier x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... suite A104272 de la OEIS respectivamente,donde (x) es la función de conteo de números primos , que es el número de números primos menores o iguales que x .
La expresión de este resultado es la definición de números primos de Ramanujan, y los números 2, 11, 17, 29, 41 son los números primos que se ajustan a esta definición. Dicho de otro modo :
El n- ésimo primer Ramanujan es el entero R n, que es el menor para satisfacer la condición ≥ n , para todo x ≥ R n .Otra forma de plantear este resultado es:
Los números primos de Ramanujan son los enteros R n que son los más pequeños para garantizar que hay n primos entre x y x / 2 para todo x ≥ R n .Dado que R n es el número más pequeño que cumple con estas condiciones, debe ser primo: y por lo tanto debe aumentar obteniendo otro número primo x = R n . Dado que puede aumentar en al menos 1,
R n R n .Los primeros elementos de la secuencia de números primos de Ramanujan son:
2 , 11 , 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, etc.
Para todo n ≥ 1,
2 n ln 2 n < R n <4 n ln 4 nSi n > 1, entonces
p 2n < R n < p 3n ,donde p n es el n- ésimo número primo.
Si n tiende a infinito, R n es igual a 2 n ésimo primero, es decir,
R n ~ p 2n ,y por lo tanto, usando el teorema de los números primos ,
R n ~ 2 n ln n .Todos estos resultados se demuestran en el libro "Los números primos de Ramanujan y el postulado de Bertrand ", excepto la desigualdad anterior R n < p 3n , que fue conjeturada por Jonathan Sondow y demostrada por Shanta Laishram.