En matemáticas , un número de Sierpiński es un número natural impar para el cual todos los números de la forma son compuestos (es decir, no primos ), independientemente del número natural .
En 1960 , Wacław Sierpiński demostró que hay una infinidad de estos números.
Los primeros números probados de Sierpiński, entre 0 y 3.000.000, son:
78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965 431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1 639,459 , 1,777,613 , 2,131,043 , 2,131,099 , 2,191,531 , 2,510,177 , 2,541,601 , 2,576,089 , 2,931,767 , 2,931,991 , ... continúa A076336 de la OEIS .
No es seguro que esta lista sea exhaustiva.
En particular, en 1962 , habiendo descubierto que 78,557 = 17 × 4,621 es un número de Sierpiński, John Selfridge conjeturó que 78,557 era el menor de estos números.
John Selfridge demostró en 1962 que 78,557 es un número de Sierpiński.
La evidencia demuestra que cualquier elección de n en forma en al menos una categoría de 7 donde cada categoría asegura un factor N .
Selfridge demostró que:
Por lo tanto, podemos construir la tabla de exponentes módulo 36:
Si el exponente es congruente módulo 36 a ... (valores de la primera línea a continuación) , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
entonces N tiene por divisor ... (valores de la segunda línea a continuación) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
3 | 5 | 3 | 73 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 | 3 | 5 | 3 | 19 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 | 3 | 5 | 3 | 37 | 3 | 5 | 3 | 7 | 3 | 5 | 3 | 13 |
Así, por congruencia, se consideran todos los exponentes, lo que significa que ningún término de la secuencia puede ser primo.
Lo mismo puede decirse de los siguientes números de Sierpiński probados, a saber: 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903 983, 934909, 965 431, 1259779, 1,290,677, 1,518,781, 1,624,097, 1,639,459, 1,777,613, 2,131,043, etc.
Se conjetura que 78,557 es el número más pequeño de Sierpiński. Para demostrarlo, basta con que cada número impar más pequeño encuentre un exponente n tal que ( k 2 n + 1) sea primo. En 2000 , solo quedaban 17 posibles candidatos.
Diecisiete o Bust , el proyecto decálculo distribuido, comenzó a probar estos diecisiete números para ver si podían eliminarse de la lista de posibles números de Sierpiński. Si el proyecto encuentra que todos estos números generan un número primo, el proyecto habrá encontrado una prueba de la conjetura de Selfridge.
El proyecto logra encontrar once números primos adicionales; como resultado, solo quedan 6 números para probar. La 11 ª fue encontrado en de octubre de de 2007 .
En abril de 2016, Después de un incidente que causa la pérdida de servidores, el diecisiete o Busto proyecto se detiene . Luego, las pruebas continúan en PrimeGrid . Enoctubre de 2016A 12 º número se encuentra.
Se conjetura que el número primo más pequeño de Sierpiński es 271,129 ...