Método delta

Naturaleza	Método estadístico ( d )

En probabilidad y estadística, el método delta (o método delta ) es un método para obtener una aproximación de la distribución asintótica de la transformada de una variable aleatoria asintóticamente normal. De manera más general, podemos considerar el método delta como una extensión del teorema del límite central .

Caso univariado

Sea una serie de variables aleatorias de expectativa y varianza . Si con la notación de convergencia en derecho , según el método delta, para cualquier función g diferenciable y tal que : $X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ $\ theta$ $\ sigma ^ {2}$ ${\ Displaystyle {{\ sqrt {n}} [{\ bar {X}} _ {n} - \ theta] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})},}$ $\ xrightarrow {L}$ $g '(\ theta) \ neq 0$

{\ Displaystyle {{\ sqrt {n}} [g ({\ bar {X}} _ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N} } (0, \ sigma ^ {2} [g '(\ theta)] ^ {2})}}

Caso multivariado

Sea una secuencia de vectores aleatorios de , una función diferenciable en . Suponga que donde denota la distribución centrada en dimensiones normales de la matriz de varianza-covarianza . En este caso, el método delta está escrito: ${\ Displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {d} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {s}}$ $\ theta$ ${\ textstyle {{\ sqrt {n}} [{\ bar {X_ {n}}} - \ theta] \, \ xrightarrow {L} \, {\ mathcal {N}} _ {d} (0, \ Sigma)}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {d} (0, \ Sigma)}$ $D$ $\ Sigma$

no[gramo(Xno)-gramo(θ)]→LNOs(0,Dgramo(θ)ΣDgramo(θ)T){\ Displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} _ {s} \ left (0, Dg (\ theta) \ Sigma Dg (\ theta) ^ {T} \ right)}}

{\ Displaystyle {{\ sqrt {n}} [g (X_ {n}) - g (\ theta)] \, {\ xrightarrow {L}} \, {\ mathcal {N}} _ {s} \ left (0, Dg (\ theta) \ Sigma Dg (\ theta) ^ {T} \ right)}}

con la matriz jacobiana de en .

{\ Displaystyle Dg (\ theta)}

gramo

\ theta

Ejemplo

Sea una serie de variables aleatorias de expectativa y varianza . Por el teorema del límite central, lo sabemos . Ahora bien, si definimos , podemos obtener la distribución asintótica de gracias al método delta. En este caso, tenemos la función . Sabemos que esta función comprueba . Al aplicar el método delta, obtenemos . $X_1, \ ldots, X_n$ $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$ $\ sqrt {n} [\ bar {X_n} - \ mu] \, \ xrightarrow {L} \, \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2)$ $W_n = e ^ {\ bar {X_n}}$ $W_ {n}$ $g (x) = e ^ x$ $g '(x) = e ^ x$ $\ sqrt {n} [e ^ {\ bar {X_n}} - e ^ \ mu] \, \ xrightarrow {L} \, \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2 e ^ {2 \ mu})$

Bibliografía

(en) Gary W. Oehlert , " Una nota sobre el método Delta " , The American Statistician , vol. 46, n o 1,Febrero de 1992, p. 27-29 ( DOI 10.1080 / 00031305.1992.10475842 , JSTOR 2684406 )

Notas y referencias

(en) Larry Wasserman , Todas las estadísticas: Un curso conciso en Inferencia Estadística Springer al. "Textos de Springer en estadística",2004, p. 79