El método Ferrari imaginado y perfeccionado por Ludovico Ferrari (1540) permite resolver las ecuaciones de cuarto grado por radicales , es decir escribir las soluciones como una combinación de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y cuadrados, cúbicos. y raíces cuarticas formadas a partir de los coeficientes de la ecuación. Proporciona a las cuatro soluciones, bajo una apariencia diferente, la misma fórmula que la de los métodos posteriores de Descartes (1637) y Lagrange (1770).
Primero reducimos la ecuación (dividiendo por el coeficiente dominante y luego traduciendo la variable para eliminar el término de grado 3 ) a una ecuación de la forma
.El punto central del método consiste en luego reemplazar el monomio z 4 por el polinomio ( z 2 + λ) 2 - 2λ z 2 - λ 2 , parametrizado por λ , y encontrar un valor adecuado de λ , que permita escribir z 4 + pz 2 + qz + r como diferencia de dos cuadrados, por tanto, a través de una identidad notable , como producto de dos polinomios de segundo grado .
Algunos autores prefieren empezar por completar el cuadrado , z 4 + pz 2 = ( z 2 + p / 2) 2 - p 2 /4 , lo que les permite presentar el método de Ferrari con otro parámetro ( T = λ - p / 2 ), igual a la mitad de la de Descartes y Lagrange ( y = 2λ - p ).
El término (2λ - p ) z 2 - qz + λ 2 - r , visto como un polinomio en z , se escribe como un cuadrado si y solo si su discriminante , q 2 - 4 (2λ - p ) (λ 2 - r ) , es cero.
Por lo tanto, resolvemos la ecuación correspondiente, llamada resolución cúbica ( pulg ) :
,utilizando uno de los métodos clásicos para resolver una ecuación de grado 3 .
Al elegir una solución λ 0 , luego a 0 , b 0 (posiblemente complejo) como:
,la ecuación inicial se convierte en:
o :
,lo que equivale a la cancelación de uno de los dos factores:
.Cada una de estas dos ecuaciones proporciona dos valores para z , o cuatro valores en total.
Casi todos los autores excluyen implícitamente el caso en el que 2λ 0 - p es cero (lo que llevaría a una división por a 0 = 0 en la definición anterior de b 0 ). Pero en este caso, q = 0, entonces la ecuación z 4 + pz 2 + qz + r = 0 es simplemente una ecuación cuádruple .
Para ver ejemplos, consulte la lección sobre Wikiversidad ( enlace a continuación ) y sus ejercicios.