El modelo de seis vértices (o, más raramente, el modelo de seis vértices ) es un modelo de física estadística que estudia las configuraciones de flechas en una red bidimensional. Este modelo es una generalización del modelo de hielo introducido por Pauling en 1935 para estudiar la configuración de los cristales de hielo y extendido a materiales ferroeléctricos por Slater en 1941. El modelo de seis vértices fue resuelto por primera vez en casos especiales por Lieb y Sutherland en 1967. Es estudiado en física estadística porque es integrable y por su vínculo con las matemáticascombinatoria .
El modelo de seis vértices se construye sobre una red bidimensional, es decir, un conjunto de líneas en el plano que se intersecan de tal manera que tres líneas distintas no se encuentran en un punto dado. Los ejemplos más simples de redes son la red cuadrada, la red Kogame o la red Baxter (ver la imagen al lado). Cada intersección de dos líneas se denomina sitio de red y tiene cuatro bordes.
Atribuimos a cada borde de la red una flecha de tal manera que respete la regla del hielo. Esto estipula que en cada sitio debe haber exactamente dos flechas apuntando hacia los vértices (flechas entrantes) y exactamente dos flechas apuntando desde los vértices (flechas salientes). Por lo tanto, para cada vértice hay seis posibles arreglos de flechas (de ahí el nombre del modelo, hay seis vértices posibles) que se representan a continuación:
A cada uno de estos tipos se le asigna una energía superior , en el orden de la figura anterior. Para una red dada, la energía total de una configuración particular (indicada ) se define como la suma de la energía de cada sitio en la red. Si hay sitios de tipo en la configuración , entonces la energía total será
.Para estudiar las propiedades de los seis vértices del modelo, utilice la función de partición , que es la suma de todos ponderados por sus configuraciones de ponderación estadística:
,donde es la constante de Boltzmann y denota la temperatura . La relación se denomina medida de Gibbs de la configuración del sistema. Es común introducir el concepto de peso estadístico para cada tipo de vértices , . Por lo tanto, la función de partición se escribe
.La función de partición nos permite calcular, dentro del límite termodinámico , es decir, cuando el número de sitios en la red se vuelve infinito, ciertas propiedades físicas del sistema, como la energía libre por sitio , dada por
.La simetría bajo la inversión simultánea de todas las flechas da como resultado la elección de pesos.
.El estudio del modelo de seis vértices y su límite termodinámico depende de las condiciones de contorno, es decir, la dirección de las flechas en el borde de la celosía. La restricción de la regla del hielo requiere que el número de flechas entrantes y salientes en los bordes sea igual, lo que fija la mitad de las flechas de los vértices ubicados en los bordes.
Con la excepción de esta restricción, para una red de tamaño , hay flechas para fijar entre , por lo tanto, un total de configuraciones posibles para las flechas ubicadas en el borde.
Cuando las flechas en los bordes no se dejan libres, su elección puede reducir el número de configuraciones posibles del sistema.
Un primer tipo de condiciones de contorno son las condiciones de contorno periódicas. Consisten en hacer que las flechas de dos bordes opuestos apunten en la misma dirección. Por ejemplo, como se muestra al lado, si las flechas superior e inferior apuntan hacia arriba y las flechas izquierda y derecha apuntan hacia la derecha, entonces todos los vértices serán forzados a ser de tipo 1.
La condición de borde de borde más estudiada se llama "paredes de dominio" (en inglés Domain Wall , que se abrevia DW). Estas condiciones en los bordes consisten en tomar las flechas verticales entrantes y las flechas horizontales salientes. Es esta elección de condiciones de contorno la que se utiliza para estudiar los vínculos entre el modelo de seis vértices y otros modelos ( ver más abajo ).
El modelo de seis vértices fue introducido por primera vez por Pauling en el caso particular de una celosía cuadrada. El objetivo era estudiar la estructura de un cristal de hielo para calcular su entropía residual a muy baja temperatura. Pauling asumió teóricamente que cada átomo de oxígeno en el agua está en un sitio en la red cuadrada, con átomos de hidrógeno en los bordes de esta red. La regla del hielo (en) es que cada uno tiene un enlace de hidrógeno a través de un enlace de hidrógeno a un solo átomo de oxígeno y un borde puede estar ocupado por solo un átomo de hidrógeno. Dado que hay el doble de aristas en una red cuadrada que de sitios, cada arista es utilizada por un solo átomo de hidrógeno.
Para pasar de este modelo de hielo cuadrado al modelo de seis vértices, como se hace en la figura de al lado, basta con reemplazar cada puente de hidrógeno por un átomo de oxígeno con una flecha que regresa al sitio donde está el oxígeno. Por tanto, el estudio del cristal de hielo se reduce al estudio de un modelo con seis vértices en el que todas las disposiciones de flechas son igualmente probables. En términos físicos, atribuiremos a cada uno de los seis tipos de vértices el mismo peso estadístico: (que podemos tomar igual a 1). Se trata por tanto de un caso especial del modelo de seis vértices, llamado modelo de hielo (en) o modelo del hielo cuadrado.
En 1941, JC Slater estudió la transición ferroeléctrica del cristal de dihidrogenofosfato de potasio (KH 2 PO 4, también llamado KDP). En KDP, hay átomos de hidrógeno presentes entre los grupos fosfato. Para estudiar sus propiedades, Slater asumió que la disposición de los átomos de hidrógeno y los grupos fosfato siguen la regla del hielo (in) , este último reemplazando el oxígeno en el agua, sopesando las opciones .
En 1963, Rys describió el comportamiento de cristales antiferroeléctricos, como PO 4 H 2 NH 4por un modelo con seis vértices para el peso , luego llamado modelo F.
El modelo de seis vértices fue resuelto por Lieb y Sutherland en 1967. Fue generalizado en 1970 por Fan y Wu a un modelo de ocho vértices . Se han desarrollado otras generalizaciones, como el modelo de diecinueve o incluso treinta y dos vértices.
El modelo de seis vértices se puede probar experimentalmente en materiales bidimensionales o en películas delgadas. En 2012, un experimento del equipo de André Geim (Premio Nobel de Física en 2010) estudió hielo de agua de 1 nm de espesor intercalado entre dos hojas de grafeno.
La fase en la que se encuentre el modelo de seis vértices dependerá no solo de las condiciones de contorno sino también del valor de los parámetros de ponderación . La ecuación de Yang-Baxter permite mostrar que la fase del sistema depende de un parámetro denominado tradicionalmente , dado por “ . "
Artículo principal: ferroelectricidad
En la fase ferroeléctrica (I en el diagrama de al lado) donde se favorecen los vértices de tipo 1 y 2. A baja temperatura, los estados de menor energía serán, por tanto, aquellos compuestos únicamente por este tipo de picos. En estos casos, todas las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha o hacia abajo e izquierda y la energía libre por sitio tiende hacia .
Este caso es similar al anterior, excepto que, a baja temperatura, los estados de menor energía serán los compuestos por vértices de tipo 3 y 4. En estos casos, las flechas apuntan hacia arriba y hacia la izquierda o bien hacia abajo y hacia abajo. tiende hacia la energía correcta y gratuita por sitio . La elección de los parámetros corresponde a la zona II.
Artículo principal: antiferroelectricidad
Esta fase corresponde a la anti-ferroelectricidad (zona III en el diagrama de fases opuesto). En este caso, se favorecen las configuraciones 5 y 6. Las dos configuraciones que el sistema adapta a baja temperatura, dentro del límite termodinámico, son por tanto las que alternan estos dos tipos de cumbres, y por tanto aquellas donde la dirección de las flechas se oponen de un sitio a otro. Estas son configuraciones antiferroeléctricas de magnetización media cero. La energía gratis por sitio vale
Artículo principal: lío
Esta fase, donde se llama desordenada. Incluye el estuche que corresponde al modelo del hielo. Esta fase no favorece a ninguno de los tipos de vértices y es fundamental para cualquier elección de parámetros en la zona IV.
Se encuentra que el modelo de seis vértices es importante en física estadística y física matemática porque está relacionado con otros objetos de estudio en matemática combinatoria.
Artículo principal: matrices de signos alternos
Las matrices de signos alternos (ASM) son matrices que satisfacen las siguientes propiedades:
Estas matrices son la generalización de las matrices de permutación . Ejemplo de una matriz de signos alternos de tamaño : " "
Existe una biyección entre las configuraciones del modelo de seis vértices en un retículo cuadrado con las condiciones de contorno DW y las matrices de signo alterno. la biyección consiste en sustituir vértices de tipo 1, 2, 3 y 4 por 0, vértices de tipo 5 por 1 y finalmente los de tipo 6 por -1. Esta transformación establece una biyección entre las ASM y las configuraciones del modelo de seis vértices con las condiciones DW, lo que significa que cada ASM corresponde a una configuración única del modelo de seis vértices y viceversa. De hecho, a partir de una configuración dada, basta con aplicar la regla de transformación. Por otro lado, partiendo de una matriz con signos alternos, los datos de las posiciones 1 y -1 de cada línea fijan las flechas en los bordes de esta línea. Lo mismo ocurre con las columnas. Por lo tanto, todas las flechas, y por lo tanto la configuración total, son fijas. En el lado opuesto se muestra un ejemplo de tal biyección para una red cuadrada y una matriz de tamaño 3 x 3.
La enumeración de MAPE, es decir, el número de MAPE de tamaño n, había sido conjeturada en 1983 por Mills, Robbins y Rumsey y fue probada por Zeilberger en 1996 con un verdadero tour de force de 84 páginas. Utilizando como punto de partida la correspondencia entre las matrices de signos alternos y el modelo de seis vértices, así como la ecuación de Yang-Baxter , Kuperberg demostró, de forma más breve, la conjetura de Mills, Robbins y Rumsey.
Artículos principales : Pavimentación por dominó (en) , Diamante azteca (en)
Un diamante azteca es una forma geométrica formada por cuadrados. Un diamante azteca de tamaño (o de orden n) es el conjunto de cuadrados con centro de verificación . Un ejemplo de un diamante azteca de orden 4.
El pavimento de un diamante azteca es un problema matemático combinatorio que implica enumerar las formas de cubrir un diamante azteca usando dominó , es decir, rectángulos que cubren exactamente dos cuadrados que componen el diamante, de tal manera que un cuadrado dado solo se cubre una vez y solo. una vez por un dominó.
Existe una correspondencia entre las configuraciones del modelo de seis vértices con las condiciones de borde DW y las formas de pavimentar un diamante azteca. La correspondencia viene dada por las reglas de reemplazo que se ilustran a continuación:
En el lado opuesto se da un ejemplo de aplicación en una configuración del modelo con seis vértices DW en una red de tamaño 4. Es importante señalar que esta correspondencia no es una biyección: para una configuración dada del modelo con seis vértices que siempre contendrá vértices de tipo 5, todavía habrá dos opciones posibles para cada uno de estos vértices. Entonces, para una configuración que contenga tales vértices, habrá diferentes teselaciones.
artículos detallados: modelo quiral de Potts (en) , modelo de Potts (en) .
El modelo quiral de Potts es una extensión del modelo de Potts, que en sí mismo es una generalización del modelo de Ising. En 1990, Bazhanov y Stroganov demostraron que el modelo quiral de Potts podía verse como parte de una estructura algebraica existente en el modelo de seis vértices. Precisamente, han demostrado que algunos operadores que satisfacen la ecuación de Yang-Baxter para el modelo de seis vértices también verifican la ecuación de Yang-Baxter para el modelo quiral de Potts. Dentro del límite termodinámico , es posible utilizar esta correspondencia para calcular las propiedades físicas del sistema.