Estimador M

En estadística , los estimadores M constituyen una gran clase de estadísticas obtenidas mediante la minimización de una función en función de los datos y parámetros del modelo. El proceso de cálculo de un M-estimador se llama M-estimación . Muchos métodos de estimación estadística pueden considerarse estimadores M. Dependiendo de la función a minimizar durante la estimación M, los estimadores M pueden proporcionar estimadores más robustos que los métodos más tradicionales, como el método de mínimos cuadrados .

Definición

Los estimadores M fueron introducidos en 1964 por Peter Huber como una generalización de la estimación de máxima verosimilitud a la minimización de una función ρ sobre el conjunto de datos. Por lo tanto, el estimador o estimadores M asociados con los datos y con la función ρ se estima mediante

θ^=argminθ⁡(∑I=1noρ(XI,θ)){\ Displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ operatorname {argmin} _ {\ theta} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ right )}

El estimador M de M, por lo tanto, proviene del estimador de máxima verosimilitud (tipo de máxima verosimilitud ) y los estimadores de máxima verosimilitud son un caso especial de los estimadores M.

Tipos

Resolver el problema de minimización normalmente implica diferenciar la función objetivo. De hecho, para buscar , un método sencillo consiste en buscar valores como θ^{\ Displaystyle {\ hat {\ theta}}}

∂∂θ(∑I=1noρ(XI,θ))=0.{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ right) = 0.}

Si esta diferenciación es posible, se dice que el estimador M es de tipo ψ  ; de lo contrario, se dice que es de tipo ρ .

Ejemplos de estimadores M

Entre los ejemplos conocidos de estimadores M, podemos citar:

• ρ(X)=X2{\ Displaystyle \ rho (x) = x ^ {2}}, que equivale a aplicar el método de mínimos cuadrados
• ρ(X)=|X|{\ Displaystyle \ rho (x) = | x |}
• ρk(X)={X22 Si |X|<kk(|X|-k2) Si |X|⩾k{\ Displaystyle \ rho _ {k} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {2}} {2}} & {\ text {si}} | x | <k \\ k ( | x | - {\ frac {k} {2}}) & {\ text {si}} | x | \ geqslant k \ end {casos}}}( Función de Huber  (en) )
• ρvs(X)=vs22en⁡(1+(Xvs)2){\ Displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ ln \ left (1+ \ left ({\ frac {x} {c}} \ right) ^ {2} \ right)} (Función de Lorentz)
• ρvs(X)=X22(1-X22vs2+X46vs4){\ Displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2c ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {4}} {6c ^ {4}}} \ right)}( Bipoides de Tukey )

Artículos relacionados

• Método de mínimos cuadrados

Referencias

• Peter J. Huber , estadísticas sólidas , Wiley, 1981, 2004