Método de salto

En matemáticas ,  el método de salto-rana o salto-rana es un método para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales de la forma

X¨=D2XDt2=F(X){\ Displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F (x)}

o, de manera equivalente, de la forma

v˙=DvDt=F(X),X˙=DXDt=v{\ Displaystyle {\ dot {v}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = F (x), \; {\ dot {x}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = v}

en particular en el caso de un sistema dinámico de mecánica clásica .

El método se conoce con diferentes nombres en diferentes disciplinas. En particular, es similar al método de Verlet con velocidad, pero se diferencia de él al calcular la velocidad y la posición en un desplazamiento de medio paso, de ahí su nombre salto de rana .

Descripción matemática y fórmulas de recurrencia

El método de salto es un método de segundo orden, a diferencia del método de Euler que es de primer orden, pero requiere el mismo número de evaluaciones por paso. Contrariamente al método de Euler, el esquema de salto es estable para un movimiento oscilatorio, siempre que el paso de tiempo t sea ​​constante, y para  . Δt≤2/ω{\ Displaystyle \ Delta t \ leq 2 / \ omega}

En el diagrama de salto, las relaciones de recurrencia en la posición y la velocidad son:

XI=XI-1+vI-1/2Δt,aI=F(XI),vI+1/2=vI-1/2+aIΔt,{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x_ {i} & = x_ {i-1} + v_ {i-1/2} \, \ Delta t, \\ a_ {i} & = F (x_ {i}) ), \\ v_ {i + 1/2} & = v_ {i-1/2} + a_ {i} \, \ Delta t, \ end {alineado}}}

donde x i es la posición en el paso i , donde v i +1/2 es la velocidad (también es la primera derivada de x en el paso i ), donde a es la aceleración (también es la derivada de la velocidad) y es la duración de cada paso de tiempo. Δt{\ Displaystyle \ Delta t}

Estas ecuaciones se pueden expresar en una forma que dé velocidad al siguiente paso completo:

XI+1=XI+vIΔt+12aIΔt2,vI+1=vI+12(aI+aI+1)Δt.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i} \, \ Delta t + {\ dfrac {1} {2}} \, a_ {i} \, \ Delta t ^ {\, 2}, \\ v_ {i + 1} & = v_ {i} + {\ dfrac {1} {2}} (a_ {i} + a_ {i + 1}) \, \ Delta t. \ End {alineado}}}

Sin embargo, incluso en esta forma donde los valores han sido "sincronizados", es decir que su valor se obtiene en el mismo instante, el paso de tiempo  t debe ser constante para mantener la estabilidad.

Casos prácticos de uso de este diagrama.

Hay dos ventajas principales del método de salto cuando se aplica a problemas mecánicos. El primero es  la reversibilidad  temporal del esquema de salto. Podemos integrarlo hacia adelante n pasos, luego invertir la dirección de integración y trabajar hacia atrás en  n pasos para llegar a la posición inicial.

El segundo punto fuerte de este esquema digital es que conserva la energía mecánica de los sistemas dinámicos (leapfrog conoce tanto la posición como la velocidad del punto). Esto es particularmente útil durante los cálculos de la mecánica orbital, sabiendo que otros diagramas (incluso en otros lugares más efectivos como el método de Runge-Kutta de orden 4) que no conservan energía mecánica, divergirán más fácilmente que dar un salto en estos temas particulares.

Debido a su tiempo de reversibilidad, y debido a que es un integrador simpléctico , el método de salto también se usa en el Hamiltoniano de Montecarlo, un método para construir muestras aleatorias a partir de una distribución de probabilidad cuya ley global se desconoce.

Ver también

• Resolución numérica de ecuaciones diferenciales
• El método de Euler
• Integración de Verlet
• Métodos de Runge-Kutta

Referencias

1. CK Birdsall y AB Langdon, Plasma Physics via Computer Simulations , McGraw-Hill Book Company, 1985, p.  56 .
2. 4.1 Dos formas de escribir el salto .
3. [Skeel, RD, "El tamaño de paso variable desestabiliza el método Stömer / Leapfrog / Verlet", BIT Numerical Mathematics, vol. 33, 1993, pág.  172-175 .
4. .

enlaces externos

• The leapfrog Integrator , Universidad de Física de Drexel, Filadelfia.