Ley normal plegada

Ley normal plegada
Densidad de probabilidad $\ mu = 1, \ sigma = 1$


Función de distribución $\ mu = 1, \ sigma = 1$

configuraciones	$\ mu \ in {\ mathbb R}$ - ( parámetro de posición ) - ( parámetro de escala ) $\ sigma> 0$
Apoyo	$x \ en [0, \ infty [$
Densidad de probabilidad	(ver artículo)
Función de distribución	(ver artículo)
Esperanza	(ver artículo)
Diferencia	(ver artículo)

En teoría y estadística de probabilidad , la ley normal plegada (o ley de deformidad ) es una ley de probabilidad continua vinculada a la ley normal . Considere una variable aleatoria de distribución normal con media y varianza , entonces la variable aleatoria es de distribución normal plegada. Por lo tanto, solo contamos el valor de la variable pero no su signo. $X$ $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$ $Y = | X |$

El término "plegado" proviene del hecho de que la densidad de la ley "izquierda" de x = 0 se dobla sobre la parte "derecha" de x = 0 tomando el valor absoluto.

Caracterizaciones

Función de densidad

La densidad de probabilidad viene dada por:

{\ Displaystyle f_ {Y} (x) = {\ begin {cases} {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(-x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) + {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)} & {\ text {for}} x \ geq 0 \\ 0 & {\ text {de lo contrario.}} \ end {cases}}}

Función de distribución

La función de distribución viene dada por:

{\ displaystyle F_ {Y} (y) = {\ begin {cases} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {y} {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {(-x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {( x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \ right] \ mathrm {d} x.} & {\ text {for}} y \ geq 0 \\ 0 & {\ text {de lo contrario.}} \ end {cases}}}

Usando el cambio de variable , podemos reescribir ${\ Displaystyle z = (x- \ mu) / \ sigma}$

{\ Displaystyle F_ {Y} (y) = \ int _ {- \ mu / \ sigma} ^ {(y- \ mu) / \ sigma} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ left (z + {\ frac {2 \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) \ mathrm {d } z + \ int _ {- \ mu / \ sigma} ^ {(y- \ mu) / \ sigma} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {z ^ {2}} {2}} \ right) \ mathrm {d} z.}

De manera similar, usando el cambio de variable en la primera integral y en la segunda, podemos escribir ${\ Displaystyle z = - (x + \ mu) / \ sigma {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle z = (x- \ mu) / {\ sqrt {2}} \ sigma}$

F_ {Y} (y) = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ mbox {erf}} \ left ({\ frac {y + \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma }} \ right) + {\ mbox {erf}} \ left ({\ frac {y- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right) \ right],

donde $erf$ es la función de error . Luego encontramos la ley de la mitad de la normalidad cuando $μ = 0$ .

Propiedades

La esperanza viene dada por:

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (Y) = \ sigma {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) + \ mu \ left [1-2 \ Phi \ left (- {\ frac {\ mu} {\ sigma}} \ right) \ right],}

donde Φ (•) es la función de distribución de la distribución normal estándar.

La varianza viene dada por:

{\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y) = \ mu ^ {2} + \ sigma ^ {2} - \ left \ {\ sigma {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ exp \ izquierda (- {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ derecha) + \ mu \ izquierda [1-2 \ Phi \ left (- {\ frac {\ mu} { \ sigma}} \ right) \ right] \ right \} ^ {2}.}

Estos dos valores, expectativa y varianza, pueden verse como los parámetros de posición y escala de la nueva ley.

Vínculos con otras leyes

Cuando μ = 0, la distribución normal plegada es la distribución semi-normal .
Si Y tiene una distribución normal plegada, Y / σ sigue una ley χ no centrada con un grado de libertad y parámetro μ / σ.

Referencias

H. Sombstay y T. Nguyen Huu , “ Variabilidad de una producción teniendo en cuenta los defectos de forma ”, Revue de statistics aplicada , vol. 6, n o 1,1958, p. 17-36 ( leer en línea )

(en) Leone FC, Nottingham RB, Nelson LS, " La distribución normal plegada " , Technometrics , Technometrics, vol. 3, núm. 4, vol. 3, n o 4,1961, p. 543–550 ( DOI 10.2307 / 1266560 , JSTOR 1266560 )
(en) Johnson NL, “ La distribución normal plegada: precisión de la estimación por máxima verosimilitud ” , Technometrics , Technometrics, vol. 4, núm. 2, vol. 4, n o 21962, p. 249-256 ( DOI 10.2307 / 1266622 , JSTOR 1266622 )
(en) Nelson LS, " La distribución normal plegada " , J Qual Technol , vol. 12, n o 4,1980, p. 236–238
(en) Elandt RC, “ La distribución normal plegada: dos métodos de estimación de parámetros a partir de momentos ” , Technometrics , Technometrics, vol. 3, núm. 4, vol. 3, n o 4,1961, p. 551–562 ( DOI 10.2307 / 1266561 , JSTOR 1266561 )
(en) Lin PC, “ Aplicación de la distribución normal plegada generalizada a las medidas de capacidad del proceso ” , Int J Adv Manuf Technol , vol. 26 Sin huesos 7-8,2005, p. 825–830 ( DOI 10.1007 / s00170-003-2043-x )