Lema subditivo
En el análisis real , el subaditivo Lemma , también conocido como lema de Fekete, da una condición suficiente en una secuela de los valores reales para que exista el límite . Permite mostrar de forma muy sencilla la existencia de tales límites y, por tanto, mostrar que determinadas secuencias tienen un comportamiento asintóticamente lineal o exponencial.
(tuno){\ Displaystyle (u_ {n})}
tuno/no{\ Displaystyle u_ {n} / n}![{\ Displaystyle u_ {n} / n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041670c98d775422eeea325dff0b686f40c1d6c3)
Subaditividad
Sea una secuencia de números reales . Decimos que es subaditivo si satisface todos los enteros estrictamente positivos m, n .
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
(tuno){\ Displaystyle (u_ {n})}
tuno+metro⩽tuno+tumetro{\ Displaystyle u_ {n + m} \ leqslant u_ {n} + u_ {m}}![{\ Displaystyle u_ {n + m} \ leqslant u_ {n} + u_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050d1f80aac7045dc82172385d6b74ae8c547a49)
Definimos de manera similar las secuencias sobreaditivas, submultiplicativas y sobremultiplicativas.
Lema subditivo
Estados
Lema subaditiva - Dejado ser una secuencia subaditiva. Entonces el límite cuando n tiende hacia la secuencia existe y tenemos
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
+∞{\ Displaystyle + \ infty}
(tuno/no)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n} / n) _ {n \ geqslant 1}}![{\ Displaystyle (u_ {n} / n) _ {n \ geqslant 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c20d30a080d2fa6cd4bfab5e3bea0fab2cd0303)
limno→+∞tunono=infno⩾1tunono∈R∪{-∞}.{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ dfrac {u_ {n}} {n}} = \ inf _ {n \ geqslant 1} {\ dfrac {u_ {n}} {n}} \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}.}
Nota: si notamos este límite, por lo tanto tenemos para todo .a{\ Displaystyle a}
tuno⩾noa{\ Displaystyle u_ {n} \ geqslant na}
no⩾1{\ Displaystyle n \ geqslant 1}![{\ Displaystyle n \ geqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4988f75f48013d159669b6725b19df177ff8a01)
Prueba -
Let y n sea un número entero que satisface. La división euclidiana de pordacony.
q∈NO∗{\ Displaystyle q \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
no⩾q{\ Displaystyle n \ geqslant q}
no{\ Displaystyle n}
q{\ Displaystyle q}
no=knoq+rno{\ Displaystyle n = k_ {n} q + r_ {n}}
kno⩾1{\ Displaystyle k_ {n} \ geqslant 1}
0⩽rno⩽q-1{\ Displaystyle 0 \ leqslant r_ {n} \ leqslant q-1}![{\ Displaystyle 0 \ leqslant r_ {n} \ leqslant q-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7c16d41f4b20cc327eebd67e1baecac4356f3f)
Por subaditividad de
tenemos, por lo tanto . Al dividir esta desigualdad entre , obtenemos:
(tuno){\ Displaystyle (u_ {n})}
tuno=tu(kno-1)q+q+rno⩽(kno-1)tuq+tuq+rno{\ Displaystyle u_ {n} = u _ {(k_ {n} -1) q + q + r_ {n}} \ leqslant (k_ {n} -1) u_ {q} + u_ {q + r_ {n }}}
no{\ Displaystyle n}![no](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
tunono⩽kno-1no⋅tuq+tuq+rnono=q(kno-1)no⋅tuqq+tuq+rnono⩽no-rno-qno⋅tuqq+tuq+rnono⩽no-rno-qno⋅tuqq+max0⩽I⩽q-1tuq+Ino.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {u_ {n}} {n}} & \ leqslant {\ frac {k_ {n} -1} {n}} \ cdot u_ {q} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} = {\ frac {q (k_ {n} -1)} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q}} {q}} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} \\ & \ leqslant {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q} } {q}} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} \ leqslant {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q}} {q}} + {\ frac {{\ underset {0 \ leqslant i \ leqslant q-1} {\ max}} u_ {q + i}} {n}}. \ end {alineado}} }![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {u_ {n}} {n}} & \ leqslant {\ frac {k_ {n} -1} {n}} \ cdot u_ {q} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} = {\ frac {q (k_ {n} -1)} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q}} {q}} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} \\ & \ leqslant {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q} } {q}} + {\ frac {u_ {q + r_ {n}}} {n}} \ leqslant {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} \ cdot {\ frac {u_ {q}} {q}} + {\ frac {{\ underset {0 \ leqslant i \ leqslant q-1} {\ max}} u_ {q + i}} {n}}. \ end {alineado}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d86988f204e68815a175fac312ee904bfec0f5)
Ya que tenemos .
0⩽rno⩽q-1{\ Displaystyle 0 \ leqslant r_ {n} \ leqslant q-1}
limno→+∞no-rno-qno=1{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} = 1}![{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {n-r_ {n} -q} {n}} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162dd34656dc821ccd1d618473e4c31cff1c8093)
Al tomar el límite superior en en el primer miembro y el último miembro de la desigualdad anterior, obtenemos
no{\ Displaystyle n}![no](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
lim supno→+∞tunono⩽tuqq.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ limsup _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {n}} \ leqslant {\ frac {u_ {q}} {q}}. \ final {alineado}}}![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ limsup _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {n}} \ leqslant {\ frac {u_ {q}} {q}}. \ final {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ab10db94ff899f03874cc1d4005d765f01720)
Dado que esta última desigualdad se verifica para todo entero , deducimos:
q⩾1{\ Displaystyle q \ geqslant 1}![{\ Displaystyle q \ geqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054270da5e21e08aeb9a70af712d87bd11267955)
lim supno→+∞tunono⩽infq⩾1tuqq⩽lim infq→+∞tuqq,{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ limsup _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {n}} \ leqslant \ inf _ {q \ geqslant 1} {\ frac {u_ { q}} {q}} \ leqslant \ liminf _ {q \ to + \ infty} {\ frac {u_ {q}} {q}}, \ end {alineado}}}![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ limsup _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {n}} \ leqslant \ inf _ {q \ geqslant 1} {\ frac {u_ { q}} {q}} \ leqslant \ liminf _ {q \ to + \ infty} {\ frac {u_ {q}} {q}}, \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115af9b7a43e916bb8173560d30bb12ef74cfee6)
Que termina la prueba.
Variantes
El lema subaditivo tiene muchas variaciones. Las más directas se refieren a las secuencias sobreaditivas y sub o sobre multiplicativas. La prueba de los tres resultados siguientes se realiza observando que (respectivamente, y ) son secuencias subaditivas.
(-tuno){\ Displaystyle (-u_ {n})}
en(tuno){\ Displaystyle \ ln (u_ {n})}
-en(tuno){\ Displaystyle - \ ln (u_ {n})}![{\ Displaystyle - \ ln (u_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408945d1c888f8aa26b882a7c74c0ff1aeb81f22)
Teorema - Vamos a una secuencia de números reales tales que para todos los enteros n y m estrictamente positivo . Entonces :
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
tuno+metro⩾tuno+tumetro{\ Displaystyle u_ {n + m} \ geqslant u_ {n} + u_ {m}}![{\ Displaystyle u_ {n + m} \ geqslant u_ {n} + u_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc62efb4962ef858f43528c96437d48523689cd)
limno→+∞tunono=sorberno⩾1tunono∈R∪{+∞}.{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {n}} = \ sup _ {n \ geqslant 1} {\ frac {u_ {n}} {n}} \ in \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}.}
Es una secuencia de números reales positivos tales que para todos los enteros n y m estrictamente positivo . Entonces :
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
tuno+metro⩽tunotumetro{\ Displaystyle u_ {n + m} \ leqslant u_ {n} u_ {m}}![{\ Displaystyle u_ {n + m} \ leqslant u_ {n} u_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d7aedaf0795b0eee51fc08889a9f801cdd83a9)
limno→+∞tuno1no=infno≥1tuno1no∈R+.{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {u_ {n}} ^ {\ frac {1} {n}} = \ inf _ {n \ geq 1} {u_ {n}} ^ {\ frac {1} {n}} \ in \ mathbb {R} _ {+}.}
Es una secuencia de números reales positivos tales que para todos los enteros n y m estrictamente positivo . Entonces :
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
tuno+metro⩾tunotumetro{\ Displaystyle u_ {n + m} \ geqslant u_ {n} u_ {m}}![{\ Displaystyle u_ {n + m} \ geqslant u_ {n} u_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a03c9feab06eb8bab052cbb5e4fb570db2eb2c)
limno→+∞tuno1no=sorberno⩾1tuno1no∈R+∗∪{+∞}.{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {u_ {n}} ^ {\ frac {1} {n}} = \ sup _ {n \ geqslant 1} {u_ {n}} ^ {\ frac {1} {n}} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ cup \ {+ \ infty \}.}
Otras variantes consisten en debilitar los supuestos del lema subaditivo. Por ejemplo, podemos suponer que la secuencia tiene valores en , pero solo toma el valor para un número finito de enteros n .
(tuno){\ Displaystyle (u_ {n})}
R∪{+∞}{\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}
+∞{\ Displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
Una conclusión cercana sigue siendo válida si debilitamos la condición de subaditividad:
Teorema : sea una secuencia de números reales. Supongamos que existe una importante M tal que para todos los enteros n y m estrictamente positivo . Entonces existe.
(tuno)no⩾1{\ Displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
tuno+metro⩽tuno+tumetro+METRO{\ Displaystyle u_ {n + m} \ leqslant u_ {n} + u_ {m} + M}
limno→+∞tuno/no{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} u_ {n} / n}![{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} u_ {n} / n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52806ac2f21adca92d08b0b8103f2d1c93bdcca)
Basta notar que la secuencia es subaditiva y por tanto existe. Deducimos .
(tuno+METRO){\ Displaystyle (u_ {n} + M)}
limno→+∞tuno+METROno{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n} + M} {n}}}
limno→+∞tuno+METROno=limno→+∞tunono{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n} + M} {n}} = \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {no}}}![{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n} + M} {n}} = \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {no}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b379dafa1ed3d923818513e2777e27247fafdde)
Aplicaciones
El lema subaditivo tiene muchas aplicaciones, ya sea en probabilidad, teoría de números o combinatoria.
Grandes desviaciones
Sea una secuencia de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, con valores reales, integrables y con media cero. Sea x un número real positivo. Deje que n y m sea dos enteros estrictamente positivos. Notamos que :
(Xno)no∈NO{\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}![(X_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f72d615b59119dee59b0e70748e31345311103c)
PAG(1no+metro∑k=1no+metroXk⩾X)⩾PAG(1no∑k=1noXk⩾X)PAG(1metro∑k=no+1no+metroXk⩾X)=PAG(1no∑k=1noXk⩾X)PAG(1metro∑k=1metroXk⩾X).{\ Displaystyle P \ left ({\ frac {1} {n + m}} \ sum _ {k = 1} ^ {n + m} X_ {k} \ geqslant x \ right) \ geqslant P \ left ({ \ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k} \ geqslant x \ right) P \ left ({\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = n + 1} ^ {n + m} X_ {k} \ geqslant x \ right) = P \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ { k} \ geqslant x \ right) P \ left ({\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} X_ {k} \ geqslant x \ right).}
Por lo tanto, la secuencia es sobre-multiplicativa. Por tanto, el límite existe y pertenece a . Al tomar el logaritmo, podemos definir una función de en tal que, para todos ,
Iniciar sesión(PAG(1no∑k=1noXk⩾X))no∈NO∗{\ Displaystyle \ log \ left (P \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k} \ geqslant x \ right) \ right) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}
limno→+∞PAG(1no∑k=1noXk⩾X)1no{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} P \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k} \ geqslant x \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}
[0,1]{\ Displaystyle [0,1]}
I{\ Displaystyle I}
R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
[0,+∞]{\ displaystyle [0, + \ infty]}
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
limno→+∞1noenPAG(1no∑k=1noXk⩾X)=-I(X).{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {n}} \ ln P \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ { n} X_ {k} \ geqslant x \ right) = - I (x).}
Los principios de las grandes desviaciones son refinamientos de este resultado: permiten, entre otras cosas, calcular la función de tasa .
I{\ Displaystyle I}![I](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
Caminata aleatoria para evitar uno mismo
Sea un número entero. La red puede verse como un gráfico, es decir, dos puntos están conectados si y solo si están a una distancia de 1 el uno del otro. Un camino de longitud n over es una secuencia de n + 1 puntos de manera que cada punto está conectado al siguiente. Por ejemplo, en , el triplete es un camino de longitud 3 , pero no es un camino. Se dice que un camino se auto-evita si no pasa varias veces sobre el mismo vértice del gráfico. Sea n un entero estrictamente positivo. Sea el número de caminos que se evitan automáticamente a partir del origen y de longitud n pulg . Un camino de auto-evitación de longitud n + m es siempre una concatenación de un camino de auto-evitación de longitud n y un camino de auto-evitación de longitud m . Incluso si eso significa traducir estos caminos, podemos asumir que comienzan desde el origen. Entonces : la secuencia es sub-multiplicativa. Según el lema subaditivo, el límite existe; se denomina constante de conectividad de red .
D≥1{\ Displaystyle d \ geq 1}
ZD{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}
ZD{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}
ZD{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}
Z2{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
((0,1),(1,1),(1,0)){\ Displaystyle ((0,1), (1,1), (1,0))}
((0,1),(1,0),(1,1)){\ Displaystyle ((0,1), (1,0), (1,1))}
vsno(ZD){\ Displaystyle c_ {n} (\ mathbb {Z} ^ {d})}
ZD{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}
vsno+metro(ZD)≤vsno(ZD)vsmetro(ZD){\ Displaystyle c_ {n + m} (\ mathbb {Z} ^ {d}) \ leq c_ {n} (\ mathbb {Z} ^ {d}) c_ {m} (\ mathbb {Z} ^ {d })}
(vsno(ZD))no∈NO∗{\ Displaystyle (c_ {n} (\ mathbb {Z} ^ {d})) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}
limno→+∞vsno(ZD)1/no{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} c_ {n} (\ mathbb {Z} ^ {d}) ^ {1 / n}}
ZD{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}![{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649f796a3703c840a3c78c6c6eb2e31018e5eaa8)
De manera más general, la constante de conectividad de una red regular se puede definir de la misma manera . Sabemos por ejemplo que la constante de conectividad de una red hexagonal en el plano es .
2+2{\ Displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}![{\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80bc28c75f4671785f2625a0565ce26efcff038)
Teoría ergódica
Existen resultados similares al lema subaditivo en la teoría ergódica , como el teorema de Kingman, una generalización del teorema ergódico de Birkhoff . Sea un sistema dinámico que conserva la medida de probabilidad . Sea una serie de funciones medibles en valores reales. Decimos que es subaditiva si, para todos los enteros n y m estrictamente positivo y para casi toda x en X , que tienen .
(X,T,μ){\ Displaystyle (X, T, \ mu)}
μ{\ Displaystyle \ mu}
(Fno)no∈NO∗{\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}
X{\ Displaystyle X}
(Fno)no∈NO∗{\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}
Fno+metro(X)⩽Fno(X)+Fmetro(TnoX){\ Displaystyle f_ {n + m} (x) \ leqslant f_ {n} (x) + f_ {m} (T ^ {n} x)}![{\ Displaystyle f_ {n + m} (x) \ leqslant f_ {n} (x) + f_ {m} (T ^ {n} x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd91d3cbd2b103023b0fe215bc9bd7a289c38fb)
Teorema ergódico de Kingman :
sea una secuencia de funciones subaditivas integrables en . Entonces existe el límite para - casi todo x , y es T - invariante.
(Fno)no∈NO∗{\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}
(X,T,μ){\ Displaystyle (X, T, \ mu)}
limno→+∞Fno(X)/no{\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} f_ {n} (x) / n}
μ{\ Displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
En particular, si f es una función integrable en X , entonces la secuencia de funciones definida por:
Fno(X)=∑k=0no-1F(TkX){\ Displaystyle f_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x)}
es subaditivo (así como sobreaditivo). Por tanto, encontramos la convergencia casi segura de las sumas de Birkhoff , incluso si este teorema no da el límite.
Notas y referencias
-
H. Duminil-Copin y S. Smirnov, La constante conectiva de la celosía en forma de panal es igual2+2{\ Displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}
, 2010
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