Lagrangiano (optimización)
En optimización , la función Lagrangiana (o Lagrangiana ) es una función que permite estudiar (optimización) problemas con restricciones. Se utiliza para establecer condiciones de optimalidad , para construir problemas duales o para analizar la perturbación de problemas.
Definición
El Lagrangiano se construye a partir de los multiplicadores de Lagrange : si consideramos el siguiente problema:
∀X∈mi⊂RnominX∈GRAMOF(X)conGRAMO={X∈mi∣φI(X)=0,I=1,...,metro,ψj(X)≤0,j=1,...,pag}.{\ Displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ in E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ min _ {\ mathbf {x} \ in G} f (\ mathbf {x}) \ quad { \ text {con}} \ quad G = \ {x \ in E \ mid \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) = 0, i = 1, ..., m, \ psi _ {j} (\ mathbf {x}) \ leq 0, j = 1, ..., p \}.}![{\ Displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ in E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ min _ {\ mathbf {x} \ in G} f (\ mathbf {x}) \ quad { \ text {con}} \ quad G = \ {x \ in E \ mid \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) = 0, i = 1, ..., m, \ psi _ {j} (\ mathbf {x}) \ leq 0, j = 1, ..., p \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1eed2faada7e0e6b96379fae0b2b140e8b37b)
El lagrangiano del problema se escribe como:
L(X,λ,μ)=F(X)+∑I=1metroλIφI(X)+∑j=1pagμjψj(X).{\ Displaystyle L (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ lambda}, \ mathbf {\ mu}) = f (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ mu _ {j} \ psi _ {j} (\ mathbf {x}).}![{\ Displaystyle L (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ lambda}, \ mathbf {\ mu}) = f (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ mu _ {j} \ psi _ {j} (\ mathbf {x}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2992b547e3749e5070ab1f4489b79b7bbe08af)
Aplicaciones
Optimización bajo restricciones
En la búsqueda de la solución de un problema de optimización bajo restricciones, se puede utilizar el Lagrangiano y estudiar sus derivadas parciales.
Ver también
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