Desigualdad booleana
En la teoría de la probabilidad , la desigualdad booleana establece que, para cualquier familia de eventos finita o contable , la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos es menor o igual a la suma de las probabilidades de los eventos tomados por separado. Más formalmente,
Desigualdad booleana : para una familia de eventos más contable A 1 , A 2 , A 3 , ..., tenemos:
PAG(⋃noAno)≤∑noPAG(Ano).{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ left (A_ {n} \ right).}
Demostración
Primero tratamos, por inducción , el caso de una familia finita de eventos.
(A1,...,Ametro){\ Displaystyle (A_ {1}, \ dots, A_ {m})}
Esto es para probar eso .
PAG(A1∪⋯∪Ametro)≤PAG(A1)+⋯+PAG(Ametro){\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m} \ right) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (Soy})}
La desigualdad es cierta en el rango . Asumimos que es cierto en una fila y consideramos una familia de eventos.
metro=1{\ Displaystyle m = 1}
metro{\ Displaystyle m}
(A1,...,Ametro+1){\ Displaystyle (A_ {1}, \ dots, A_ {m + 1})}
metro+1{\ Displaystyle m + 1}
O bien : (hipótesis de inducción).
mi=A1∪⋯∪Ametro{\ Displaystyle E = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m}}
PAG(mi)≤PAG(A1)+⋯+PAG(Ametro){\ Displaystyle \ mathbb {P} (E) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}
Entonces: ,
PAG(A1∪⋯∪Ametro+1)=PAG(mi∪Ametro+1)=PAG(mi)+PAG(Ametro+1)-PAG(mi∩Ametro+1){\ Displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} (E \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} ( E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) - \ mathbb {P} (E \ cap A_ {m + 1})}
donde: .
PAG(A1∪⋯∪Ametro+1)≤PAG(mi)+PAG(Ametro+1)≤PAG(A1)+⋯+PAG(Ametro)+PAG(Ametro+1){\ Displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m}) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1})}
Ahora nos ocupamos del caso de una secuencia contable de eventos.
(Ano)no≥1{\ Displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 1}}
Para cualquier entero estrictamente positivo , es decir ; entonces .
no{\ Displaystyle n}
mino=A1∪⋯∪Ano{\ Displaystyle E_ {n} = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n}}
PAG(mino)≤∑k=1noPAG(Ak){\ Displaystyle \ mathbb {P} (E_ {n}) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k})}
La desigualdad booleana se sigue de esto pasando al límite de ; de hecho, y para todos , así .
no{\ Displaystyle n}⋃no≥1mino=⋃no≥1Ano{\ Displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} E_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n}}
no{\ Displaystyle n}mino⊂mino+1{\ Displaystyle E_ {n} \ subconjunto E_ {n + 1}}
limPAG(mino)=PAG(⋃no≥1Ano){\ Displaystyle \ lim \ mathbb {P} (E_ {n}) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ right)}
- Otro método (que se ocupa tanto del caso finito como del caso contable).
Hemos establecido y todo , .
A1′=A1{\ Displaystyle \ A '_ {1} = A_ {1}}
no≥2{\ Displaystyle n \ geq 2}
Ano′=Ano∖(A1∪⋯∪Ano-1){\ Displaystyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n-1})}
Entonces , y los eventos son incompatibles de dos en dos;
además, para todo , por tanto (crecimiento de ).
⋃noAno=⋃noAno′{\ Displaystyle \ bigcup _ {n} A_ {n} = \ bigcup _ {n} A '_ {n}}
A1′,A2′,...{\ Displaystyle A '_ {1}, A' _ {2}, \ dots}
no,Ano′⊂Ano{\ Displaystyle n, A '_ {n} \ subconjunto A_ {n}}
PAG(Ano′)≤PAG(Ano){\ Displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {n})}
PAG{\ Displaystyle \ mathbb {P}}
De todo esto, se deduce: .
PAG(⋃noAno)=PAG(⋃noAno′)=∑noPAG(Ano′)≤∑noPAG(Ano){\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A '_ {n} \ right) = \ suma _ {n} \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}
En términos de la teoría de la medida , la desigualdad booleana expresa el hecho de que una medida de probabilidad es σ- subaditiva (como cualquier medida).
Consecuencia - La intersección de una familia finita o contable de casi ciertos eventos , B 1 , B 2 , B 3 ,…, es casi segura (basta con aplicar la desigualdad booleana a los complementos de B n ).
Desigualdades de Bonferroni
La desigualdad de Bonferroni , debido a Carlo Emilio Bonferroni , la desigualdad generalizada Boole. Proporcionan superior e inferior unidos de la probabilidad de las uniones finitas de eventos.
Desigualdades de Bonferroni - Establezcamos:
S1: =∑I=1noPAG(AI),{\ Displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {i}),}
S2: =∑I<jPAG(AI∩Aj),{\ Displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {i <j} \ mathbb {P} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}
y para 2 < k ≤ n ,
Sk: =∑PAG(AI1∩⋯∩AIk),{\ Displaystyle S_ {k}: = \ sum \ mathbb {P} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}),}
donde la suma se realiza sobre todos los k - tuplos estrictamente crecientes de enteros entre 1 y n .
Entonces, para cualquier entero impar k tal que 1 ≤ k ≤ n
PAG(⋃I=1noAI)≤∑j=1k(-1)j+1Sj,{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j},}
y para cualquier entero par k tal que 2 ≤ k ≤ n
PAG(⋃I=1noAI)≥∑j=1k(-1)j+1Sj.{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j}.}
Encontramos la desigualdad booleana para k = 1.
Referencias
Este artículo se basa en una traducción del artículo de Wikipedia en inglés , tomado de un artículo de PlanetMath , disponible en GFDL.
Ver también
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