Grupo Clifford

En matemáticas , el grupo Clifford de un cuadrática no degenerada sobre un campo es un sub- grupo de la naturaleza algebraica-geométrica del grupo de elementos invertibles de la álgebra de Clifford de la forma cuadrática.

Definición

Se observa K sea un campo, V un espacio vectorial de dimensión finita distinto de cero en K , Q una forma cuadrática no degenerada en V y φ forma bilineal simétrica asociada con Q . Nota α la involución principal del álgebra de Clifford de Q .

El grupo de Clifford se define como el conjunto de elementos invertibles x del álgebra de Clifford tales que $\ Gamma \,$

{\ Displaystyle xv \ alpha (x) ^ {- 1} \ in V \,}

, o

para todos v en V . Esta fórmula también define una acción del grupo de Clifford sobre el espacio vectorial V que conserva la norma Q y, por lo tanto, da un homomorfismo del grupo de Clifford al grupo ortogonal. El grupo de Clifford contiene todos los elementos r de V con norma distinta de cero, y estos actúan sobre V por las correspondientes reflexiones que llevan v hacia v - φ ( v , r ) r / Q ( r ) (En la característica 2, estos se denominan transvecciones ortogonales en lugar de reflejos).

Muchos autores definen el grupo de Clifford de manera ligeramente diferente, reemplazando la acción por . Esto produce el mismo grupo de Clifford, pero la acción del grupo de Clifford sobre V cambia ligeramente: la acción de los elementos impares del grupo de Clifford se multiplica por un factor fuera de -1. ${\ Displaystyle xv ~ \ alpha (x) ^ {- 1} \,}$ ${\ displaystyle xvx ^ {- 1} \,}$ ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$

La acción utilizada aquí tiene varias pequeñas ventajas: se ajusta a las convenciones habituales de los signos de superalgebra, los elementos de V corresponden a reflejos y en dimensiones impares, la aplicación del grupo de Clifford al grupo ortogonal está activada y el núcleo no es mayor que K * . El uso de la acción en el lugar no hay diferencia: se produce el mismo grupo de Clifford con la misma acción en V . ${\ Displaystyle \ alpha (x) vx ^ {- 1} \,}$ ${\ Displaystyle xv \ alpha (x) ^ {- 1} \,}$

Propiedades

El grupo de Clifford es la unión disjunta de dos subconjuntos y , donde es el subconjunto de elementos de grado i . El subconjunto es un subgrupo del índice 2 pulg . $\ Gamma \,$ ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {0} \,}$ ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {i} \,}$ ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {0} \,}$ $\ Gamma \,$

Si V es la dimensión finita con una forma bilineal no degenerada entonces las aplicaciones de grupo Clifford en el grupo ortogonal de V y el núcleo se compone de no cero elementos del campo K . Esto conduce a las secuencias exactas

{\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow O_ {V} (K) \ rightarrow 1, \,}

{\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma ^ {0} \ rightarrow SO_ {V} (K) \ rightarrow 1. \,}

Como característica arbitraria, la norma de giro Q se define sobre el grupo de Clifford por

{\ Displaystyle Q (x) = x ^ {t} x \,}

Es un homomorfismo del grupo Clifford al grupo K * de cero elementos diferentes de K . Coincide con la forma cuadrática Q de V cuando V se identifica con un subespacio de álgebra de Clifford. Varios autores definen la norma de giro de forma ligeramente diferente, es decir, difiere de la utilizada aquí por un factor de -1, 2 o -2 en . La diferencia no es muy importante. ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {1} \,}$

Los diversos elementos de cero a K tienen un spin estándar de entre el grupo K * 2 cuadrados de los componentes de cuerpo cero K . Entonces, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos un mapa inducido desde el grupo ortogonal de V al grupo K * / K * 2 , también llamado norma de giro. La norma de espín de una reflexión de un vector r tiene como imagen Q ( r ) en K * / K * 2 , y esta propiedad la define solo en el grupo ortogonal. Esto da las consecuencias exactas:

{\ displaystyle 1 \ rightarrow \ {\ pm 1 \} \ rightarrow Pin_ {V} (K) \ rightarrow O_ {V} (K) \ rightarrow K ^ {*} / K ^ {* 2}, \,}

{\ displaystyle 1 \ rightarrow \ {\ pm 1 \} \ rightarrow Spin_ {V} (K) \ rightarrow SO_ {V} (K) \ rightarrow K ^ {*} / K ^ {* 2}. \,}

Nota: En la característica 2, el grupo {± 1} simplemente tiene un elemento.