Grupo espacial
El grupo espacial de un cristal está formado por el conjunto de simetrías de una estructura cristalina , es decir, el conjunto de isometrías afines que dejan la estructura invariante. Es un grupo en el sentido matemático del término.
Cualquier grupo espacial resulta de la combinación de una celosía de Bravais y un grupo de simetría de puntos : cualquier simetría de la estructura resulta del producto de una traslación de la celosía y una transformación del grupo de puntos.
La calificación Hermann-Mauguin se utiliza para representar un grupo de espacio.
La Unión Internacional de Cristalografía publica Tablas Internacionales de Cristalografía ; en el volumen A cada grupo espacial y sus operaciones de simetría se representan gráfica y matemáticamente.
Principio de determinación de grupos espaciales.
El conjunto de grupos espaciales resulta de la combinación de una unidad base (o patrón) con operaciones específicas de simetría ( reflexión, rotación e inversión ), a las que se suman operaciones de traslación , traslación en el plano o combinadas con reflexión o rotación.
Sin embargo, el número de grupos distintos es menor que el de las combinaciones, algunos son isomorfos , es decir, conducen al mismo grupo espacial. Este resultado se puede demostrar matemáticamente mediante la teoría de grupos .
Las operaciones de traducción incluyen:
- la traslación según los vectores base de la red, que cambia de una celda a la celda vecina;
- traducciones combinadas con reflexiones y rotaciones:
- rototranslaciones (elemento de simetría: eje helicoidal): una rotación a lo largo de un eje, combinada con una traslación a lo largo de la dirección del eje, y cuya amplitud es una fracción de los vectores base. Se indican con un número n que describe el grado de rotación, donde n es el número de veces que se debe aplicar la rotación para obtener la identidad (por lo tanto, 3 representa, por ejemplo, una rotación de un tercio de vuelta, es decir, 2π / 3). A continuación, el grado de traducción se anota mediante un índice que indica a qué fracción del vector de la red corresponde la traducción. En general, el eje helicoidal n p representa una rotación de 2π / n seguida de una traslación de p / n del vector de la red paralelo al eje. Por ejemplo, 2 1 representa una rotación de medio giro seguida de una traslación de un medio vector de la red.
- reflexión de deslizamiento : una reflexión seguida de una traslación paralela al plano. Los elementos de simetría son espejos de traducción indicados por la letra g seguida del componente de traducción entre paréntesis; sin embargo, los espejos de traducción que se encuentran con más frecuencia en una estructura cristalina se indican con una letra como en la siguiente tabla:
| Tipo de espejo | Deslizar |
|---|---|
| a | a / 2 (1/2 del período a lo largo de la dirección a) |
| B | b / 2 (1/2 del período a lo largo de la dirección b) |
| vs | c / 2 (1/2 del período a lo largo de la dirección c) |
| no | 1/2 del período a lo largo de una dirección diagonal |
| D | 1/4 del período a lo largo de una dirección diagonal |
| mi | 1/2 del período a lo largo de dos direcciones perpendiculares |
En un grupo espacial, diferentes elementos de simetría de la misma dimensionalidad pueden coexistir en orientación paralela. Por ejemplo, los ejes 2 1 pueden ser paralelos a los ejes 2; Tipo de espejos m puede ser paralela a tales espejos tiene ; etc. En el símbolo del grupo espacial, la elección del elemento representativo sigue un orden de prioridad, que es el siguiente:
- los ejes antideslizantes tienen prioridad sobre los ejes helicoidales;
- la prioridad en la elección del espejo representativo es: m> e> a> b> c> n> d.
Sin embargo, existen algunas excepciones. Por ejemplo, los grupos I 222 e I 2 1 2 1 2 1 contienen ejes 2 1 paralelos a los ejes 2, pero en el primer grupo los tres ejes 2 tienen intersección común, así como los tres ejes 2 1 , mientras que en el segundo grupo este no es el caso. La regla de prioridad no se aplica aquí, de lo contrario, ambos grupos tendrían el mismo símbolo.
Determinación en el espacio directo
La determinación del grupo espacial de un cristal en el espacio directo se realiza observando los elementos de simetría presentes en el cristal; por tanto, es necesario observar el modelo atómico del cristal (o su proyección ortogonal ) a lo largo de sus direcciones de simetría. Como no es posible la visualización directa de la disposición atómica de un cristal desconocido, este método para determinar el grupo espacial se utiliza principalmente en educación.
Determinación en el espacio recíproco
En la práctica, el grupo espacial de un cristal desconocido se determina en el espacio recíproco mediante la difracción de rayos X , neutrones o electrones . El conocimiento de los parámetros de malla y clase Laue permite encontrar el grupo de puntos de simetría posible del cristal, generalmente correspondiente a varios grupos espaciales posibles. El examen de las extinciones sistemáticas de reflejos en el patrón de difracción da los elementos de simetrías con un componente traductor presente en el cristal (ejes helicoidales, espejos traductores), lo que a veces conduce a la determinación de un solo grupo espacial. Sin embargo, en general, se encuentran varios grupos de espacios candidatos. La ambigüedad se resuelve luego determinando la estructura del cristal en cada uno de los grupos espaciales. Si un grupo espacial no es adecuado para describir la estructura, esto se puede ver de varias maneras:
- los poliedros de coordinación (longitudes y ángulos de enlace ) de especies químicas pueden ser muy diferentes de lo que se conoce de otras estructuras;
- en consecuencia, los cálculos de las resistencias de la unión dan resultados erróneos;
- los parámetros de agitación térmica de los átomos son anormalmente altos;
- los parámetros de refinamiento del modelo están fuertemente correlacionados ;
- los factores de ajuste para el refinamiento de la estructura son altos.
Los 230 tipos de grupos espaciales
El conjunto de 230 tipos de grupos espaciales tridimensionales resulta de la combinación de los 32 tipos de grupos de simetría de puntos con los 14 tipos de redes Bravais .
Por isomorfismo , las combinaciones de un tipo de celosía de Bravais y un tipo de grupo de simetría puntual (32 × 14 = 448) finalmente se reducen a 230 tipos distintos de grupos espaciales.
| Clase | # | Sistema triclínico | |||||||
| 1 | 1 | P 1 | |||||||
| 1 | 2 | P 1 | |||||||
| Sistema monoclínico | |||||||||
| 2 | 3-5 | P 2 | P 2 1 | C 2 | |||||
| metro | 6-9 | Pm | Ordenador personal | Cm | CC | ||||
| 2 / m | 10-15 | P 2 / m | P 2 1 / m | C 2 / m | P 2 / c | P 2 1 / c | C 2 / c | ||
| Sistema ortorrómbico | |||||||||
| 222 | 16-24 | P 222 | P 222 1 | P 2 1 2 1 2 | P 2 1 2 1 2 1 | C 222 1 | C 222 | F 222 | Yo 222 |
| Yo 2 1 2 1 2 1 | |||||||||
| mm 2 | 25-46 | Mmm 2 | Pmc 2 1 | PC 2 | Pma 2 | Pca 2 1 | Pnc 2 | Pmn 2 1 | Pba 2 |
| Pna 2 1 | Pnn 2 | Mmm 2 | Cmc 2 1 | Ccc 2 | Amm 2 | Aem 2 | Ama 2 | ||
| Ae 2 | Fmm 2 | Fdd 2 | Imm 2 | Iba 2 | Ima 2 | ||||
| mmm | 47-74 | Mmm | Pnnn | PCcm | Pban | PMMA | Pnna | Pmna | Pcca |
| Pbam | Pccn | Pbcm | Pnnm | Mmm | Pbcn | Pbca | Pnma | ||
| Cmcm | Cmce | Mmm | Cccm | Cm | Ccce | Fmmm | Fddd | ||
| Immm | Ibam | Ibca | Imma | ||||||
| Sistema cuadrático o tetragonal | |||||||||
| 4 | 75-80 | P 4 | P 4 1 | P 4 2 | P 4 3 | Yo 4 | Yo 4 1 | ||
| 4 | 81-82 | P 4 | Yo 4 | ||||||
| 4 / m | 83-88 | P 4 / m | P 4 2 / m | P 4 / n | P 4 2 / n | Yo 4 / m | Yo 4 1 / a | ||
| 422 | 89-98 | P 422 | P 42 1 2 | P 4 1 22 | P 4 1 2 1 2 | P 4 2 22 | P 4 2 2 1 2 | P 4 3 22 | P 4 3 2 1 2 |
| Yo 422 | Yo 4 1 22 | ||||||||
| 4 mm | 99-110 | P 4 mm | P 4 bm | D 4 2 cm | P 4 2 nm | P 4 cc | P 4 nc | P 4 2 mc | P 4 2 antes de Cristo |
| Yo 4 mm | Yo 4 cm | Yo 4 1 md | Yo 4 1 cd | ||||||
| 4 2 m | 111-122 | P 4 2 m | P 4 2 c | P 4 2 1 m | P 4 2 1 c | P 4 m 2 | P 4 c 2 | P 4 b 2 | P 4 n 2 |
| Yo 4 m 2 | Yo 4 c 2 | Yo 4 2 m | Yo 4 2 d | ||||||
| 4 / mmm | 123-142 | P 4 / mmm | P 4 / mmc | P 4 / nbm | P 4 / nnc | P 4 / mbm | P 4 / nnc | P 4 / nmm | P 4 / ncc |
| P 4 2 / mmc | P 4 2 / mcm | P 4 2 / nbc | P 4 2 / nnm | P 4 2 / mbc | P 4 2 / mnm | P 4 2 / nmc | P 4 2 / ncm | ||
| Yo 4 / mmm | Yo 4 / mcm | Yo 4 1 / amd | I 4 1 / acd | ||||||
| Sistema trigonal | |||||||||
| 3 | 143-146 | P 3 | P 3 1 | P 3 2 | R 3 | ||||
| 3 | 147-148 | P 3 | R 3 | ||||||
| 32 | 149-155 | P 312 | P 321 | P 3 1 12 | P 3 1 21 | P 3 2 12 | P 3 2 21 | R 32 | |
| 3 m | 156-161 | P 3 m 1 | P 31 m | P 3 c 1 | P 31 c | R 3 m | R 3 c | ||
| 3 m | 162-167 | P 3 1 m | P 3 1 c | P 3 m 1 | P 3 c 1 | R 3 m | R 3 c | ||
| Sistema hexagonal | |||||||||
| 6 | 168-173 | P 6 | P 6 1 | P 6 5 | P 6 2 | P 6 4 | P 6 3 | ||
| 6 | 174 | P 6 | |||||||
| 6 / m | 175-176 | P 6 / m | P 6 3 / m | ||||||
| 622 | 177-182 | P 622 | P 6 1 22 | P 6 5 22 | P 6 2 22 | P 6 4 22 | P 6 3 22 | ||
| 6 mm | 183-186 | P 6 mm | P 6 cc | D 6 3 cm | P 6 3 mc | ||||
| 6 m 2 | 187-190 | P 6 m 2 | P 6 c 2 | P 6 2 m | P 6 2 c | ||||
| 6 / mmm | 191-194 | P 6 / mmm | P 6 / mcc | P 6 3 / mcm | P 6 3 / mmc | ||||
| Sistema cúbico | |||||||||
| 23 | 195-199 | P 23 | F 23 | Yo 23 | P 2 1 3 | Yo 2 1 3 | |||
| m 3 | 200-206 | Pm 3 | Pn 3 | FM 3 | Fd 3 | Yo 3 | Pa 3 | Ia 3 | |
| 432 | 207-214 | P 432 | P 4 2 32 | F 432 | F 4 1 32 | Yo 432 | P 4 3 32 | P 4 1 32 | Yo 4 1 32 |
| 4 3 m | 215-220 | P 4 3 m | F 4 3 m | Yo 4 3 m | P 4 3 n | F 4 3 c | Yo 4 3 d | ||
| m 3 m | 221-230 | Pm 3 m | Pn 3 n | Pm 3 n | Pn 3 m | Fm 3 m | Fm 3 c | Fd 3 m | Fd 3 c |
| Estoy 3 m | Ia 3 d | ||||||||
Grupos espaciales no convencionales
Los grupos espaciales que se muestran en la tabla anterior son los grupos espaciales convencionales, que se utilizan para describir la simetría de un cristal en su red convencional . Sin embargo, puede resultar útil utilizar un grupo espacial no convencional, por ejemplo, para estudiar transiciones de fase estructural, casos de politipismo o series de sustitución . Hay dos formas de obtener un grupo espacial no convencional:
- eligiendo una nueva celda de volumen idéntico a la celda convencional, por ejemplo permutando los vectores base de la celda;
- aumentando artificialmente el tamaño de la malla (malla múltiple).
La descripción de un cristal en un grupo espacial no convencional no cambia la simetría intrínseca del cristal, es simplemente una descripción alternativa de la misma estructura.
Mallas de idéntico volumen
En los sistemas de cristales monoclínicos y ortorrómbicos , las direcciones , y no son equivalentes por simetría, es decir que no existe una operación de simetría que pueda transformar una de estas direcciones en una de las otras dos. El nombre de los vectores base de la celda se elige generalmente para obtener un grupo espacial convencional.
En los casos en que los elementos de simetría en las direcciones , y son de diferente naturaleza, una permutación de los nombres de los vectores base conduce a una celda de volumen inalterado con un grupo espacial no convencional. Por otro lado, en el sistema monoclínico, el β ángulo entre los vectores un y c no se fija en 90 °, la elección de los vectores de base a ' = -AC , b' = b y c ' = un también conduce a una celda monoclínica de volumen igual al de la celda convencional.
La siguiente tabla muestra los grupos espaciales convencionales y no convencionales en el sistema monoclínico. Los posibles cambios de signo de los vectores base son necesarios para que formen un trihedro directo. En el caso monoclínico, se consideran solo los cambios de base dejando el eje como eje de simetría. Los grupos de espacios que siguen siendo idénticos por cambio de sistema de coordenadas no se enumeran.
| # | Malla convencional | Mallas no convencionales | ||
|---|---|---|---|---|
| 5 | C 2 (vectores a , b , c ) | A 2 ( c , −b , a ) | A 2 ( -ac , b , a ) | Yo 2 ( c , b , -ac ) |
| 7 | Pc (vectores a , b , c ) | Pa ( c , −b , a ) | Pn ( -ac , b , a ) | Pa ( c , b , -ac ) |
| 8 | Cm (vectores a , b , c ) | Soy ( c , −b , a ) | Soy ( -ac , b , a ) | Soy ( c , b , -ac ) |
| 9 | Cc (vectores a , b , c ) | Aa ( c , −b , a ) | An ( -ac , b , a ) | Ia ( c , b , -ac ) |
| 12 | C 2 / m (vectores a , b , c ) | A 2 / m ( c , −b , a ) | A 2 / m ( -ac , b , a ) | Yo 2 / m ( c , b , -ac ) |
| 13 | P 2 / c (vectores a , b , c ) | P 2 / a ( c , −b , a ) | P 2 / n ( -ac , b , a ) | P 2 / a ( c , b , -ac ) |
| 14 | P 2 1 / c (vectores a , b , c ) | P 2 1 / a ( c , −b , a ) | P 2 1 / n ( -ac , b , a ) | P 2 1 / a ( c , b , -ac ) |
| 15 | C 2 / c (vectores a , b , c ) | A 2 / a ( c , −b , a ) | A 2 / n ( -ac , b , a ) | Yo 2 / a ( c , b , -ac ) |
En el sistema ortorrómbico, todas las permutaciones de los ejes que forman un trihedro directo dejan inalterado el volumen de la célula. Al estar orientados los símbolos de Hermann-Mauguin , la notación del grupo espacial puede cambiar dependiendo de la permutación de los ejes:
- el lugar de un eje de rotación o helicoidal sigue la dirección a la que es paralelo;
- el lugar de un espejo de traslación un , b o c sigue la dirección a la cual es perpendicular, su nombre depende de la dirección en la que la traducción se lleva a cabo;
- la nomenclatura de las rejillas de Bravais depende de la posición de las direcciones que definen las caras centradas.
Como ejemplo, la siguiente tabla da algunos grupos espaciales convencionales y no convencionales para el sistema ortorrómbico.
| # | Malla convencional | Mallas no convencionales | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 29 | Pca 2 1 (vectores a , b , c ) | Pb 2 1 a ( a , c , -b ) | P 2 1 ca ( c , b , -a ) | P 2 1 ab ( c , a , b ) | Pbc 2 1 ( b , -a , c ) | PC 2 1 b ( b , c , a ) |
| 40 | Ama 2 (vectores a , b , c ) | Soy 2 a ( a , c , -b ) | C 2 cm ( c , b , -a ) | B 2 mb ( c , a , b ) | Bbm 2 ( b , -a , c ) | Cc 2 m ( b , c , a ) |
| 43 | Fdd 2 (vectores a , b , c ) | Fd 2 d ( a , c , -b ) | F 2 dd ( c , b , -a ) | F 2 dd ( c , a , b ) | Fdd 2 ( b , -a , c ) | Fd 2 d ( b , c , a ) |
| 45 | Iba 2 (vectores a , b , c ) | Ic 2 a ( a , c , -b ) | Yo 2 cb ( c , b , -a ) | Yo 2 cb ( c , a , b ) | Iba 2 ( b , -a , c ) | Ic 2 a ( b , c , a ) |
| 53 | Pmna (vectores a , b , c ) | Pman ( a , c , -b ) | Pcnm ( c , b , -a ) | Pbmn ( c , a , b ) | Pnmb ( b , -a , c ) | Pncm ( b , c , a ) |
Varias mallas
Notas y referencias
- El e- avión tipo es un plano de doble deslizamiento, a lo largo de dos direcciones diferentes, que sólo existe en cinco tipos de grupos espacial ortorrómbico de celosía centrada. Los dos deslizamientos están conectados por el vector de traducción de componente fraccional. El uso del símbolo e se hizo oficial a partir de la quinta edición del volumen A de las Tables internationales de crystallographie (2002).
- (in) Tablas internacionales de cristalografía , vol. R: Simetría de grupo espacial , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr. Corregido), 5 ª ed. ( ISBN 978-0-470-68908-0 ) , cap. 4.1.2.3
Bibliografía
- (en) Alan D. Mighell, “ Células convencionales: células monoclínicas centradas en I y C ” , Acta Cryst. B , vol. 59, n o 22003, p. 300-302 ( DOI 10.1107 / S0108768103002829 )
Ver también
Artículos relacionados
Enlace externo
- (en) " Space group " , en IUCr Online Dictionary of Crystallography (consultado el 27 de agosto de 2010 )