Fórmula de suma de Abel

En matemáticas , la fórmula de suma de Abel , que lleva el nombre de su autor Niels Henrik Abel , es una fórmula que se utiliza ampliamente en la teoría analítica de números . Se utiliza para calcular series numéricas .

Estados

Sea una secuencia de números reales o complejos y una función real o compleja de clase $C$ $1$ . $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $\ varphi$

Nosotros posamos

A (x) = \ sum _ {{1 \ leq n \ leq x}} {a_ {n}}.

Entonces, para todo $x$ real ,

{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ varphi (n) = A (x) \ varphi (x) - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \, \ mathrm {d} u}

Demostración

Es una integración por partes en una integral de Stieltjes , pero este caso particular se puede demostrar directamente.

La función $A$ es cero sobre $] -\infty, 1 [$ así que si $x <1$ , la ecuación se reduce a 0 = 0.

Ahora suponga $x \geq 1$ y denote por $N \geq 1$ su parte entera (por lo tanto, $A ( x ) = A ( N )$ ). La fórmula de la suma por partes da:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n} \ varphi (n)} - A (x) \ varphi (x) & = A (N) \ varphi (N) - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n) {\ big)} - A (x) \ varphi (x) \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n)) {\ big )} - A (N) {\ big (} \ varphi (x) - \ varphi (N) {\ big)} \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} \ int _ {n} ^ {n + 1} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u- \ int _ {N} ^ {x} A (u) \ varphi' (u) \, \ mathrm {d} u \\ & = - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u. \ end {alineado}}}

Ejemplos de

Constante de Euler-Mascheroni

Para y , al observar la parte entera de $x$ , encontramos (para cualquier $x$ real ≥ 1, o incluso $x$ > 0): $a_ {n} = 1$ ${\ Displaystyle \ varphi (u) = 1 / u}$ $\ lfloor x \ rfloor$

\ sum _ {{1 \ leq n \ leq x}} {\ frac 1n} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} x} + \ int _ {1} ^ {x} {{\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {2}}} {\ mathrm d} u}

de donde deducimos una expresión integral de la constante de Euler-Mascheroni :

{\ Displaystyle \ gamma = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}

(donde $E$ es la función entera ).

Serie Dirichlet

Para cualquier serie clásica de Dirichlet

{\ Displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

La fórmula de suma de Abel, aplicada a , muestra que para cualquier número complejo s con una parte real estrictamente mayor que 0 y la abscisa de convergencia de la serie: ${\ Displaystyle \ varphi (u) = u ^ {- s}}$

{\ Displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}

A continuación se muestran dos ejemplos. Otro se puede encontrar en el artículo " Función de Von Mangoldt ".

Función zeta de Riemann

Porque obtenemos: $a_ {n} = 1$

{\ Displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor } {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}

Esta fórmula es válida para $Re$ ( s ) > 1. Se deduce en particular el teorema de Dirichlet según el cual la función zeta de Riemann $ζ$ ( s ) admite un polo simple del residuo 1 en s = 1.

Inversa de la función zeta de Riemann

Para (la función de Möbius ): ${\ Displaystyle a_ {n} = \ mu (n)}$

{\ Displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {{\ frac { M (u)} {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}}

Esta fórmula es válida para $Re$ ( s )> 1. El símbolo $M$ designa la función de Mertens , definida por

{\ Displaystyle M (u) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq u} {\ mu (n)}}

Nota

Este es un caso particular de una propiedad de la serie general de Dirichlet que se demuestra de la misma manera.