Fórmula (matemáticas)

En lógica y matemáticas , una fórmula es una serie finita de objetos, dotados de propiedades particulares que hacen posible la sintaxis en todos estos campos.

Definición

Dado un conjunto E y una función de peso p: E → N , una fórmula es una palabra extraída de E obtenida por las siguientes dos reglas de construcción:

  1. un solo elemento de E de peso 0 es una fórmula;
  2. si t es un elemento de peso n, para cualquier secuencia de n fórmulas F 1 , F 2 , ...., F n , la palabra concatenada tF 1 F 2 .... F n es una fórmula.

Reconocemos las "palabras significativas" que forman un subconjunto del monoide libre Lo (E) construido sobre E.

La notación teórica introducida aquí es la conocida como Łukasiewicz o "notación polaca"; pero la notación comúnmente usada en álgebra y en análisis es aquella entre paréntesis t (F 2 , ...., F n ); si t es de peso 2, escribimos (F 1 ) t (F 2 ) en lugar de tF 1 F 2 , y

[r (F 1 , ...., F m )] t [s (G 1 , ...., G n )] en lugar de trF 1 .... F m sG 1 .... G n .

Dada una fórmula F, cualquier intervalo de F que sea una fórmula es una subfórmula . Por tanto, F 1 , rF 1 .... F m , sG 1 .... G n son subfórmulas de trF 1 .... F m sG 1 .... G n .

Si F = tF 1 F 2 .... F n , las F i 1≤i≤n son las subfórmulas inmediatas de F.

En cualquier conjunto de fórmulas, la relación binaria "F es una subfórmula de G" es una relación de orden  : reflexiva , antisimétrica y transitiva .

Propiedades

De hecho, de acuerdo con el teorema anterior, no podemos tener F i = G i M o G i = F i M a menos que M esté vacío.

De todo esto se sigue que la relación de inclusión sobre las ocurrencias de sub-fórmulas de una fórmula, es un orden ramificado , o árbol sintáctico , en el que, para cualquier elemento, los elementos anteriores son todos comparables.

Les formules sont définies relativement à un langage formel , qui est une collection de symboles constants , de symboles de fonction et de symboles de relation , où chacun des symboles de fonctions et de relation vient avec une arité qui indique le nombre d'arguments qu' ella toma.

Luego definimos recursivamente un término como

  1. Una variable,
  2. Un símbolo constante, o
  3. f ( t 1 ,…, t n ), donde f es un símbolo n -ario de función, y t 1 ,…, t n son términos.

Finalmente, una fórmula toma una de las siguientes formas:

  1. t 1 = t 2 , donde t 1 y t 2 son términos, o
  2. R ( t 1 ,…, t n ), donde R es un símbolo de relación n- aria, y t 1 ,…, t n son términos, o
  3. (¬φ), donde φ es una fórmula, o
  4. (φ∧ψ), donde φ y ψ son fórmulas, o
  5. (∃ x ) (φ), donde x es una variable y φ es una fórmula.

Los dos primeros casos se denominan fórmulas atómicas .

Notas y referencias

  1. Roland Fraïssé , Curso de lógica matemática , Gauthier-Villars Paris 1971-1975, Vol. 1, Relación y fórmula lógica , 1.2 p. 3.
  2. N. Bourbaki , Algebre , Difusión CCLS, París, 1977, I, §7, n o  2.
  3. N. Bourbaki, Teoría de conjuntos , Difusión CCLS, París, 1977 ( ISBN  2903684057 ) , p.  I.42 .
  4. Jean-François Pabion, Lógica matemática , Hermann, París, 1976 ( ISBN  2-7056 5830-0 ) , II 2.2, p.  48 .

Ver también