Función de transferencia óptica

La función de transferencia óptica o FTO de un sistema óptico es una función compleja que relaciona la luminancia del espacio del objeto con la iluminación del espacio de la imagen. Permite modelar la influencia del sistema óptico en la distribución de la energía luminosa en el espacio de la imagen.

La función de transferencia óptica a menudo se considera solo en los planos del objeto y las imágenes conjugadas, pero es tridimensional en el caso general. Esta función compleja se divide en una amplitud denominada función de transferencia de modulación y una fase denominada función de transferencia de fase .

La función de transferencia de modulación o MTF es una función que permite caracterizar la capacidad del sistema óptico para restaurar el contraste según la finura de los detalles del objeto; en otras palabras, su capacidad para transmitir las frecuencias espaciales del objeto. Se utiliza para evaluar la calidad del sistema óptico, especialmente en fotografía y cinematografía .

La función de transferencia de fase caracteriza los cambios de fase introducidos por el sistema óptico. Ocurre sobre todo en campo cercano, en la hipótesis de una difracción de Fresnel.

La noción de función de transferencia óptica tiene análogos en otros campos de la física , especialmente en la electrónica y la acústica .

Definición

El sistema óptico forma la imagen de un objeto plano en el plano de la imagen.

Denotamos por:

${\ Displaystyle M_ {o} (a, b)}$ distribuir la salida en la dirección de la pupila de entrada del sistema óptico en el plano del objeto;
${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}$ la función de dispersión de puntos (" función de dispersión de puntos " en inglés), o respuesta de pulso espacial, es decir, la distribución de la iluminancia para un objeto de punto brillante localizado ; $(a, b)$
${\ Displaystyle E_ {i} (x, y)}$ la distribución de la iluminación recibida en el plano de la imagen.

Mediante algunas hipótesis, entre las que se incluyen la invariancia del sistema óptico y la incoherencia de la luz emitida por la fuente, podemos relacionarlas de la siguiente manera y revelar un producto de convolución :

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

En este caso, si realizamos una transformación de Fourier , podemos escribir

{\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

${\ Displaystyle \ nu _ {x}}$ y son las frecuencias espaciales verticales y horizontales de la imagen formada; ${\ Displaystyle \ nu _ {y}}$
${\ Displaystyle \ nu _ {a}}$ y son las frecuencias espaciales verticales y horizontales del objeto; ${\ Displaystyle \ nu _ {b}}$
${\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (E_ {i} (x, y))}$ representa la distribución de la iluminación en función de las frecuencias espaciales;
${\ Displaystyle {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (M_ {0} (a, b))}$ representa la distribución de la exitancia en función de las frecuencias espaciales;
${\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {H}} (x, y) )}$ es la función de transferencia óptica (FTO): en este caso es la transformada de Fourier de la función de ensanchamiento puntual .

Esta función se puede reescribir para involucrar un término de amplitud y un término de fase dependiendo de dónde: ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ left \ vert {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \ right \ green}$ es la función de transferencia óptica (MTF, o " modulación de la función de transferencia " MTF, inglés), módulo OTF;
${\ Displaystyle \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ arg \ left ({\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \ derecho)}$ es la función de transferencia de fase (FTP), argumento de la FTO.

La función de transferencia óptica normalizada tiene un valor unitario para frecuencias espaciales cero.

Detalles de los supuestos utilizados para obtener la relación

Denotamos por la distribución de la exitancia en el plano del objeto. Tanto para la salida como para las demás cantidades siguientes, puede tratarse tanto de cantidades fotométricas como de cantidades de energía. ${\ Displaystyle M_ {o} (a, b)}$

Hipótesis 1: se supone que el objeto es una fuente ortotrópica por lo que su salida de luz en la dirección de la pupila de entrada del sistema óptico es proporcional a su luminancia según la ley de Lambert .

El plano de la imagen se descompone en superficies elementales que emiten en la dirección de la pupila de entrada del sistema óptico. El ángulo sólido elemental es donde es la distancia entre los puntos y y un elemento de superficie de la pupila. El flujo elemental emitido por un elemento de superficie del plano del objeto en el ángulo sólido elemental se expresa:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} = \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {l} \ cos \ theta} {\ delta _ {o} ^ { 2}}}}

{\ Displaystyle \ delta _ {o}}

{\ Displaystyle (a, b)}

{\ displaystyle (X, Y)}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {l}}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l}}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} I_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = L_ {o} (a, b) \, \ cos \ theta \ \ mathrm {d} ^ {2} S_ { o} \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} M_ {o} (a, b, X, Y ) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

donde es el ángulo entre el radio y la normal a los diferentes planos estudiados. $\ theta$

Hipótesis 2: el objeto y la imagen son pequeños en comparación con la distancia . ${\ Displaystyle D_ {o}}$

Se pueden descuidar las variaciones del factor que se tomará igual a 1, lo que equivale a descuidar el fenómeno del viñeteado natural que se manifiesta por un oscurecimiento de la imagen cuando se aleja del eje óptico. Además, se puede tomar la distancia entre el plano del objeto y la pupila. Entonces, el ángulo sólido que abraza a la pupila:

\ cos \ theta

{\ Displaystyle \ delta _ {o} \ simeq D_ {o}}

{\ Displaystyle \ Omega _ {l} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = {\ frac {S_ {l}} {D_ {o} ^ {2}}}}

Así, el flujo elemental desde hacia la apertura de la pupila de entrada es $(a, b)$

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y)}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = L_ {o} (a, b) \, \ Omega _ {l} \, \ mathrm {d} ^ { 2} S_ {o} = M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

Al pasar por el sistema óptico, la mayor parte del flujo emerge del sistema óptico en la dirección del punto de imagen comúnmente determinado bajo las condiciones del estigmatismo aproximado proporcionado por la hipótesis 2. Pero parte del flujo no converge hacia este punto porque de la difracción (imposible de corregir) y las aberraciones del sistema óptico. La distribución de la iluminación recibida por una superficie elemental del plano de la imagen se obtiene mediante la respuesta al impulso espacial del sistema óptico, es decir, de su comportamiento frente a un objeto puntual. también se denomina

función de dispersión de puntos , que es más pictórica. El flujo elemental recibido por un elemento de superficie del plano de la imagen procedente de una superficie elemental del plano del objeto es:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}

{\ mathcal H}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d } ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d } ^ {2} S_ {0} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Hipótesis 3: el sistema óptico no absorbe el flujo luminoso : es perfectamente transparente.

No hay flujo absorbido y

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Hipótesis 4: los elementos superficiales del plano del objeto emiten luces incoherentes, es decir, que no interfieren entre sí.

El flujo total recibido por un elemento de la superficie de la imagen es la suma de los flujos elementales:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x , y) \, M_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i}} {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}} = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ { o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

Hipótesis 5: el sistema es invariante en el espacio, es decir, un desplazamiento del objeto en el plano del objeto da como resultado un desplazamiento de la imagen en el plano de la imagen.

Entonces, la respuesta de impulso depende sólo de la diferencia entre la posición diseñado y la posición central de la imagen formada: . De hecho, en el caso de un punto de objeto , la mayor parte del flujo converge hacia un punto de imagen mientras que una parte se extiende en su vecindad más o menos cercana.

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (x + \ gamma _ {t} a, y + \ gamma _ {t} b)}

{\ Displaystyle (a, b)}

{\ Displaystyle (\ gamma _ {t} a, \ gamma _ {t} b)}

Establecemos y luego introducimos una distribución ficticia correspondiente a la imagen ideal (incluso sin difracción) . ${\ Displaystyle a '= - \ gamma _ {t} a}$ ${\ Displaystyle b '= - \ gamma _ {t} b}$ ${\ Displaystyle E_ {o} (a ', b') = {\ frac {1} {\ gamma _ {t} ^ {2}}} M_ {o} (a, b)}$

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (x-a ', y-b') \, E_ {o} (a ', b') \, \ mathrm {d} a '\, \ mathrm {d} b'}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * E_ {o}) (x, y)}

Hipótesis 6: el aumento transversal es válido . ${\ Displaystyle \ gamma _ {t} = - 1}$

Obtenemos , y

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (xa, yb)}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

Teniendo en cuenta las propiedades de la transformación de Fourier ,

{\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

Extensión del MTF al caso tridimensional

La función de dispersión de puntos de un sistema óptico, es decir, la imagen de un punto de objeto, es una distribución de iluminación tridimensional que tiene un máximo en el plano conjugado del plano del objeto. Por tanto, es posible definir una función de transferencia óptica tridimensional y la función de transferencia de modulación asociada.

Sistema óptico limitado por difracción

Es útil conocer el comportamiento de un sistema óptico ideal, en el sentido de que carece de aberración, para compararlo con un sistema óptico real. En la práctica, se dice que un sistema está limitado por difracción si las aberraciones que lo afectan tienen una función de dispersión de puntos más pequeña que la mancha de Airy creada por la difracción. La función de ensanchamiento puntual que se obtiene corresponde, salvo cambio de variable, a la transformada bidimensional de Fourier de la forma de la abertura : ${\ Displaystyle t (X, Y)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = \ left (- {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi } {\ lambda D_ {i}}} \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y \ right) ^ {2}}

Entonces, la función de transferencia óptica se expresa de manera muy simple como el producto de la autoconvolución de la forma de la abertura:

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

donde está el aumento transversal . ${\ Displaystyle \ gamma _ {t}}$

Las frecuencias máximas registradas por el sistema de formación de imágenes están limitadas por el sistema óptico por efecto de difracción o por el sensor debido al tamaño de los píxeles, por ejemplo. En muchos casos, si el objeto está lo suficientemente lejos, se considera que la imagen se forma en las proximidades del plano focal, de modo que . ${\ Displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

Demostración

El estudio de la difracción para una lente delgada utilizando la aproximación de Fresnel da como resultado una expresión de la función de dispersión de amplitud puntual que corresponde a la figura de difracción de Fraunhofer:

{\ Displaystyle h (x, y) = - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi} {\ lambda D_ {i}} } \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y}

Introduciendo las variables reducidas y , a continuación , y sabiendo eso , llega: ${\ Displaystyle X '= {\ frac {-X} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle Y '= {\ frac {-Y} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} X = - \ lambda D_ {i} X '}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {t} = - D_ {i} / D_ {o}}$

{\ Displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \ left (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ {i} Y' \ right) \ \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, 2 \ pi \ left (xX '+ yY' \ right)} \ \ mathrm {d} X '\ \ mathrm {d} Y'}

{\ Displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {t (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ { i} Y ') \ right \}}

La función de dispersión está dada por: . ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = | h (x, y) | ^ {2}}$

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, {\ mathcal {H}} (xa ', y-b') \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

{\ Displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, | h (xa ', y-b') | ^ {2} \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

La función de transferencia óptica es:

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \} * {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \ } = {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) * {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y })}

Teniendo en cuenta la simetría de los sistemas estudiados, los signos - pueden suprimirse (todas las funciones son pares).

{\ Displaystyle {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

La función de transferencia óptica estandarizada es:

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ frac {{\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \}} {\ int \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | h (x, y) | ^ {2} \ mathrm {d } x \ mathrm {d} y}}}

Apertura circular

En el caso de un sistema óptico con una distancia focal de imagen y provisto de una pupila de entrada con un diámetro de apertura circular , se anota el número de apertura . Se considera también que la imagen se forma en las proximidades del plano focal: . La simetría del problema permite expresar la función de transferencia óptica normalizada en función de las frecuencias espaciales a lo largo de cualquier eje radial de la abertura: $f '$ $D$ ${\ Displaystyle N = f '/ d}$ ${\ Displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left (\ arccos \ left ({\ frac {\ nu} { \ nu _ {c}}} \ right) - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ { c}}} \ derecha) ^ {2}}}} \ derecha)}

donde la frecuencia de corte, más allá del cual ya no hay ningún cambio, viene dada por: . ${\ Displaystyle \ nu _ {c} = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

Demostración

El factor de transmisión corresponde a la forma de la abertura:

{\ Displaystyle t (X, Y) = {\ begin {cases} 1, & {\ text {si}} {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ leq {\ frac {d } {2}} \\ 0, & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}

Sabiendo eso , observamos que la función de transferencia será cero si . En vista de la simetría de la revolución, uno puede contentarse con estudiar sobre cualquier eje. ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ nu _ {x} ^ {2} + \ nu _ {y} ^ {2}}} \ leq \ nu _ {c} = {\ frac {d} {\ lambda f} } = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

La autoconvolución se puede calcular determinando el área de intersección de dos discos de rayos . la frecuencia de corte corresponde a la frecuencia más allá de la cual los dos discos ya no se interceptan entre sí. En primer lugar, solo nos interesan las frecuencias positivas. ${\ Displaystyle {\ frac {\ nu _ {c}} {2}} = {\ frac {d} {\ lambda f}} = {\ frac {1} {2 \ lambda N}}}$ ${\ Displaystyle \ nu _ {c}}$

{\ Displaystyle A = 2 \ left ({\ frac {\ theta \ nu _ {c} ^ {2}} {2}} - \ nu _ {c} \ cos \ theta \, \ nu _ {c} \ pecado \ theta \ derecha)}

{\ Displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ sin 2 \ theta} {2}} \ right) }

{\ Displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ cos \ theta \ sin \ theta} \ right)}

A lo sumo, la zona vale la pena . ${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {max}} = \ pi \, \ nu _ {c} ^ {2}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} = \ cos \ theta}

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}

{\ Displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ arccos (\ nu / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}}} \ right)}

Dividiendo entre para obtener un valor máximo de 1 = 100%, y observando la simetría que impone que la función sea par, obtenemos: ${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {max}}}$

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left ({\ frac {\ arccos (| \ nu | / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {| \ nu |} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ derecha) ^ {2}}}} \ derecha)}

Apertura cuadrada

En el caso de una abertura cuadrada desde el lateral , el factor de transmisión es: $D$

{\ Displaystyle t (X, Y) = \ Pi _ {{d} / 2, d / 2} (X, Y) = {\ begin {cases} 1, & {\ text {si}} - {\ frac {d} {2}} \ leq X \ leq {\ frac {d} {2}} {\ text {qué pasaría si}} - {\ frac {d} {2}} \ leq Y \ leq {\ frac { d} {2}} \\ 0, & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}

donde representa la función de puerta . El número de apertura aún se define como , la frecuencia de corte mantiene la misma expresión, pero la función de transferencia óptica se modifica: $\ Pi$ ${\ Displaystyle N = f '/ D}$

{\ Displaystyle H_ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ Lambda \! \ left ({\ frac {\ nu _ {x}} {\ nu _ {c}}} \ right) \ Lambda \! \ left ({\ frac {\ nu _ {y}} {\ nu _ {c}}} \ right)}

donde está la función triangular . ${\ Displaystyle \ Lambda \! \ left (x \ right)}$

Sistema óptico real

Un sistema real sufre aberraciones ópticas . El efecto de estas aberraciones es reducir la relación de contraste en función de las frecuencias espaciales, lo que da como resultado una disminución de MTF en comparación con el caso limitado por difracción. Esta disminución de contraste puede ir acompañada de una disminución de la frecuencia de corte del sistema óptico, información esencial que permite determinar la capacidad de un sistema para transmitir los detalles finos de una imagen. Las aberraciones ópticas que degradan el rendimiento de los sistemas no son espacialmente invariantes, lo que impide el uso del producto de convolución y reduce las posibilidades de cálculos simples. Además, no todos son rotacionalmente simétricos. Entonces, la función de transferencia óptica no es rotacionalmente simétrica y en particular la MTF varía según la posición estudiada en el plano de la imagen. Para conocer la MTF, es necesario tomar medidas.

Medida MTF

Métodos que utilizan patrones de prueba

La función de transferencia de modulación se puede medir utilizando patrones de prueba que consisten en bandas blancas y negras que se alternan en diferentes frecuencias espaciales. Para cada frecuencia espacial, el contraste se mide en la imagen y se divide por el contraste del patrón de prueba. ${\ Displaystyle C (f)}$

{\ Displaystyle C (f) = {\ frac {L_ {max} -L_ {min}} {L_ {max} + L_ {min}}}}

con y las luminancias mínima y máxima medidas en la imagen del patrón de prueba. Esta relación es el valor de la función de transferencia de modulación para esta frecuencia espacial. ${\ Displaystyle L_ {min}}$ ${\ Displaystyle L_ {max}}$

Métodos que utilizan la función de dispersión de puntos

Métodos de medición directa

Si el detector tiene suficiente resolución y se puede utilizar una fuente de luz de tamaño suficientemente pequeño, es posible medir directamente la función de dispersión de puntos del sistema óptico. La función de ensanchamiento puntual permite entonces calcular la función de transferencia de modulación mediante una transformación de Fourier .

Alternativamente, en ausencia de un detector, una medición de la caída de la intensidad de la luz en presencia de una cuchilla de Foucault permite calcular la función de transferencia de modulación. Este método se usa a menudo en áreas donde los sensores no tienen suficiente resolución, como infrarrojos .

Métodos que utilizan analizadores de frente de onda

El uso de un analizador de frente de onda permite analizar la deformación del frente de onda mediante un sistema óptico. En particular, tales sistemas permiten medir la respuesta al impulso de un sistema óptico. Siendo la función de transferencia óptica la transformada de Fourier de esta respuesta de impulso, es posible así obtener la función de transferencia de modulación.

Factores que influyen en MTF

La MTF de un sistema óptico depende obviamente de la apertura y de su forma, así como de la longitud de onda debida a la difracción, pero intervienen otros fenómenos para degradarla.

La mayoría de las aberraciones geométricas y cromáticas que afectan al sistema óptico, además de defectos de fabricación o cuidado, reducen los valores de MTF: aberración esférica, aberración de coma, astigmatismo, curvatura de campo , trébol. Los reflejos internos del sistema óptico pueden reducir el MTF en toda la imagen al reducir el contraste mediante el efecto de destello . El viñeteado y la distorsión no influyen en el FTM. La aberración cromática no influye en la luz casi monocromática. La distancia al objeto puede cambiar las aberraciones ópticas presentes en el sistema óptico y modificar la MTF asociada a él. La polarización de la luz incidente puede, en raras ocasiones, influir.

Uso en fotografía y cine

La función de transferencia de modulación permite caracterizar la calidad de un objetivo .

Curva FTM en fotografía

Las curvas MTF que caracterizan una lente fotográfica incluyen al menos dos curvas:

La curva superior corresponde a la evolución del contraste de una frecuencia espacial baja (a menudo 10 ciclos por milímetro) en función de la distancia desde el centro de la imagen.
La curva inferior corresponde a la evolución del contraste de una frecuencia espacial más alta (a menudo 30 ciclos por milímetro) en función de la distancia desde el centro de la imagen.

Estas curvas se dividen según la orientación sagital o tangencial , lo que permite tener en cuenta las aberraciones que no tienen simetría rotacional.

Las lentes fotográficas exhiben un MTF máximo para aperturas medias (f / 5.6). El MTF es menor para aperturas grandes (f / 1.4, f / 2) debido a aberraciones y para aperturas pequeñas debido a difracción. Los fabricantes de lentes generalmente limitan la apertura af / 16 of / 22 (f / 32 para formatos grandes). La difracción afecta menos a los sensores grandes (con la misma definición) porque los píxeles son más grandes y el tamaño del punto de difracción depende solo de la apertura.

Conceptos similares a la función de transferencia óptica

En electrónica

En electrónica , la noción de función de transferencia de un circuito eléctrico se utiliza en particular para analizar la respuesta de frecuencia del sistema, que corresponde a la ganancia del sistema en función de la frecuencia de la señal eléctrica de entrada. Es posible establecer una analogía entre la función de transferencia óptica y la función de transferencia , por un lado, y entre la función de transferencia de modulación y la respuesta de frecuencia, por otro lado.

En acústica

En acústica , la función de transferencia de modulación se utiliza para evaluar cómo se ven afectadas las modulaciones de amplitud de la señal durante la difusión de una señal. La función de transferencia de modulación para una señal de banda estrecha se calcula mediante la relación de contraste (señal modificada - señal original) para modulaciones de amplitud que van de 1 a 12 Hz. MTF es la base de varias medidas de inteligibilidad de la voz y, en particular, el índice de transmisión de voz (STI) .

Ver también

Lente fotográfica

Notas y referencias

El campo óptico cercano: teoría y aplicaciones en Google Books - Daniel Courjon y Claudine Bainier (2001)
Eugene Hecht , Óptica , Pearson,19 de septiembre de 2005, 724 p. ( ISBN 978-2-7440-7063-1 , leer en línea ) , pág. 571
Tesis: Análisis y modelado de la función de transferencia de modulación de sensores de imagen de píxeles activos CMOS - Magali Estribeau (2004)
Estándar ISO 15529 revisión 2010
Cálculo vectorial rápido de la distribución volumétrica del campo focalizado mediante el uso de una transformada de Fourier tridimensional - J. Lin, OG Rodríguez-Herrera, F. Kenny, D. Lara y JC Dainty, Optics Express (2012)
Optical Design Elements ( leer en línea ) , p. 8
Entrenamiento, Captura y Restitución de imágenes p. 78 - Jean-Louis Meyzonnette, Escuela Superior de Óptica
(in) Glenn D. Boreman, Función de transferencia de modulación en sistemas ópticos y electroópticos, SPIE Press,1 st de enero de de 2001, 110 p. ( ISBN 978-0-8194-4143-0 , leer en línea ) , pág. dieciséis
Introducción a las pruebas ópticas en Google Books - Joseph M. Geary
Documentación MTF - Imatest
Medición de la función de transferencia de modulación de un sistema óptico - Trabajo práctico, Institut d'Optique
Sensor de frente de onda HASO - Imagine Optic
Analizador de frente de onda Shack-Hartmann - OptoPhase
La interpretación de hojas de datos ópticos - Carl Zeiss
Comprensión de la función de transferencia de modulación - Enfoque digital
Cómo leer las curvas MTF - Sigma France
Introducción a la inteligibilidad del habla nti-audio.com