Descomposición mundial

La descomposición Wold o descomposición Wold - von Neumann es el resultado de un análisis funcional que describe isométricos en un espacio de Hilbert .

Estados

Definición - Sea H un espacio de Hilbert y T: H → H una isometría. Decimos que T es un operador de desplazamiento si, para cualquier elemento x de H , cuando . ${\ Displaystyle T ^ {* n} x \ to 0}$ ${\ Displaystyle n \ to + \ infty}$

Teorema - Sea H un espacio de Hilbert y T: H → H una isometría. Existen F y G dos subespacios de H , en suma directa y estable por T , tal que es un operador de turno y es un operador unitario . ${\ Displaystyle T | _ {F}}$ ${\ Displaystyle T | _ {G}}$

Demostración

Vamos a posar . Se trata de un subespacio cerrado de par estable . Tenga en cuenta la proyección ortogonal en . ${\ Displaystyle G = \ cap _ {k \ in \ mathbb {N}} T ^ {k} H}$ $H$ $T$ ${\ Displaystyle P_ {G}}$ $GRAMO$

Lema : para todo , cuando . ${\ Displaystyle x \ in H}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} T ^ {* n} \ to P_ {G} x}$ ${\ Displaystyle n \ to + \ infty}$

Prueba del lema

Para todo , como es una isometría, está activada la proyección ortogonal . $no$ ${\ Displaystyle T ^ {n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} T ^ {* n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} H}$

Cualquiera arbitrario. Para todo , escribamos en la forma , con la proyección ortogonal de encendido . Para todos con , como , es la proyección ortogonal de en y, de acuerdo con la fórmula de Pitágoras, ${\ Displaystyle x \ in H}$ $no$ $X$ ${\ Displaystyle x = x_ {n} + y_ {n}}$ ${\ Displaystyle x_ {n} = T ^ {n} T ^ {* n} x}$ $X$ ${\ Displaystyle T ^ {n} H}$ ${\ Displaystyle m, n}$ $m> n$ ${\ Displaystyle T ^ {m} H \ subconjunto T ^ {n} H}$ $x_ {m}$ $x_ {n}$ ${\ Displaystyle T ^ {m} H}$ ${\ Displaystyle || x_ {n} || ^ {2} - || x_ {m} || ^ {2} = || x_ {n} -x_ {m} || ^ {2}}$ . Esta relación implica que es una secuencia decreciente, por lo tanto convergente desde positiva. Permite además demostrar que es una continuación de Cauchy. Como está completo, converge a un cierto . ${\ Displaystyle (|| x_ {n} ||) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $H$ ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle X \ in H}$

Para concluir, basta con mostrar que es la proyección ortogonal de on . Primero notamos eso . De hecho, para todo , la secuencia está al menos desde el rango , por lo que su límite también pertenece a . $X$ $X$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle X \ in G}$ $k \ in \ mathbb {N}$ ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle T ^ {k} H}$ $k$ $X$ ${\ Displaystyle T ^ {k} H}$

Además, si es algún elemento de , $X '$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle \ langle xX, X '\ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle x-x_ {n}, X' \ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle y_ {n}, X '\ rangle = 0}$ . De hecho, para todo , es ortogonal a, por lo tanto, también a , que es un subespacio de . $no$ $y_n$ ${\ Displaystyle T ^ {n} H}$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle T ^ {n} H}$

Tenga en cuenta, para todos , el suplemento ortogonal de en . El son subespacios cerrados de , de dos por dos ortogonal. ${\ Displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$ $F_ {j}$ ${\ Displaystyle T ^ {j + 1} H}$ ${\ Displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ $H$

Dado que, para todo , está la proyección ortogonal activada , la proyección ortogonal activada , que denotamos , es igual a . Entonces, para todo , cuando , $j$ ${\ Displaystyle T ^ {j} T ^ {* j}}$ ${\ Displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ ${\ Displaystyle P_ {F_ {j}}}$ ${\ Displaystyle T ^ {j} T ^ {* j} -T ^ {j + 1} T ^ {* j + 1}}$ ${\ Displaystyle x \ in H}$ ${\ Displaystyle n \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {F_ {j}} \ right) x = \ left (Id_ {H} -T ^ {n + 1} T ^ {* n +1} \ right) x \ to (Id_ {H} -P_ {G}) x}$ . Esta relación implica que, si definimos , tenemos ; más lejos, y son ortogonales. ${\ Displaystyle F = {\ overline {F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}}}$ ${\ Displaystyle F \ oplus G = H}$ $F$ $GRAMO$

El espacio es estable por , porque , también su adhesión . ${\ Displaystyle F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}$ $T$ ${\ Displaystyle TF_ {j} \ subconjunto F_ {j + 1}}$ $F$

Demostremos que es un cambio. Por todo , cuando , ${\ Displaystyle T | _ {F}}$ $x \ en F$ ${\ Displaystyle n \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle || T ^ {* n} x || ^ {2} = \ langle x, T ^ {n} T ^ {* n} x \ rangle \ to \ langle x, P_ {G} x \ rangle = 0}$ .

Demostremos que es un operador unitario. El lema anteriormente demostrado permite demostrarlo . El subespacio es estable por , ya que su ortogonal es estable por . Como es igual a la identidad en , obtenemos ${\ Displaystyle T | _ {G}}$ ${\ Displaystyle TP_ {G} T ^ {*} = P_ {G}}$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle T ^ {*}}$ $F$ $T$ ${\ Displaystyle P_ {G}}$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle T | _ {G} T | _ {G} ^ {*} = Id_ {G}}$ .

Versión para un número infinito de isometrías

Definición : sea una secuencia de espacios de Hilbert. Es decir, para todo , una isometría. Decimos que es una familia marcadora si existe una secuencia de espacios de Hilbert disjuntos y operadores unitarios que satisfacen, para todos , la relación ${\ Displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $no$ ${\ Displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ to H_ {n}}$ ${\ Displaystyle (v_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ Displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {n}: H_ {n} \ to \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}$ $no$

{\ Displaystyle \ Phi _ {n} v_ {n} \ Phi _ {n + 1} ^ {- 1} :( x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} L_ {n} \ to (0, x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}

Teorema : sea una secuencia de espacios de Hilbert. Es decir, para todo , una isometría. Existen, para todo , subespacios de en suma directa, que denotamos y , de manera que ${\ Displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $no$ ${\ Displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ to H_ {n}}$ $no$ $H_n$ $F_ {n}$ $G_ {n}$

${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} F_ {n + 1} \ subconjunto F_ {n}}$ ;
${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} G_ {n + 1} \ subconjunto G_ {n}}$ ;
la familia es significativa; ${\ Displaystyle (v_ {n} | _ {F_ {n + 1} \ to F_ {n}}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$
${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n}: G_ {n + 1} \ a G_ {n}}$ es un operador unitario.

Análisis de procesos estacionarios

En estadística , una versión del teorema de Wold permite descomponer cualquier proceso débilmente estacionario en la suma de una parte "determinista" y una parte "estocástica".

Teorema : sea un proceso estacionario en el sentido débil . Hay una secuencia de números reales , proceso débilmente estacionario y tal que ${\ Displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ Displaystyle (\ alpha _ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$ $U$ $W$

{\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {Z}, X_ {t} = \ sum _ {j \ in \ mathbb {Z}} \ alpha _ {j} U_ {tj} + W_ {t}}

y se comprueban las siguientes propiedades:

${\ Displaystyle \ alpha _ {0} = 1, \ sum _ {j = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {j} ^ {2} <+ \ infty}$ ;
${\ Displaystyle \ forall j, \ mathbb {E} (U_ {j}) = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} U_ {j'}) = 0}$ si ; ${\ Displaystyle j \ neq j '}$
${\ Displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} W_ {j'}) = 0}$ ;
el proceso es determinista, es decir, hay reales como, para todo , cuando . $W$ ${\ Displaystyle (\ beta _ {j} ^ {N}) _ {0 <j \ leq N \ in \ mathbb {N}}}$ $t$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left (W_ {t} - (\ beta _ {1} ^ {N} W_ {t-1} + \ dots + \ beta _ {N} ^ {N} W_ {tN }) \ derecha) ^ {2} \ to 0}$ ${\ Displaystyle N \ a + \ infty}$

Referencias

(en) Marvin Rosenblum y James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , Oxford University Press,1985, 161 p. ( ISBN 0-19-503591-7 , leer en línea )
(en) Tiberiu Constantinescu, Parámetros de Schur, problemas de factorización y dilatación , vol. 82, Basilea / Boston / Berlín, Birkhäuser, coll. "Teoría del operador, avances y aplicaciones",1996, 253 p. ( ISBN 3-7643-5285-X , leer en línea )
(en) Herman J. Bierens, Introducción a los fundamentos matemáticos y estadísticos de la econometría , Cambridge University Press, coll. "Temas de la econometría moderna",2004, 323 p. ( ISBN 978-0-521-54224-1 , leer en línea )

Ver también

Operador de turno