Vida promedio

Dado un conjunto de elementos cuyo número disminuye hacia cero, la vida media (también llamada vida útil) es un número que caracteriza la tasa de reducción ( disminución ) del conjunto. En particular, si la vida útil individual de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un instante de referencia y la desaparición de este elemento, la vida útil promedio es la media aritmética de las vidas útiles individuales.

Caso de disminución exponencial: vida media y vida media

La desintegración de una partícula es “totalmente aleatoria”, es decir que su probabilidad de desintegración es uniforme y se indica λ. Por tanto, su probabilidad de decaer entre los tiempos t y d t es:

P (decaimiento en [ t  ; t + d t ]) = λ⋅d t

También es la probabilidad de que la vida útil T de una partícula sea t (ya que existe en el tiempo t y ya no existe en t + d t ):

P (T ∈ [ t  ; t + d t ]) = λ⋅d t

Esto también describe los sistemas que exhiben una tasa de falla instantánea constante, es decir, fallas sin debilidad, desgaste o efecto memoria juvenil, como los componentes electrónicos.

Por lo tanto, a escala de una población de N partículas (o sistemas), la ley de desintegración (o falla) se escribe:

DNO(t)Dt=-λ⋅NO(t){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {N} (t)} {\ mathrm {d} t}} = - \ lambda \ cdot \ mathrm {N} (t)}

donde N ( t ) es la población en el tiempo t , y λ (letra griega lambda) es una constante de tasa.

Resolver esta ecuación diferencial revela una función exponencial decreciente:

NO(t)=NO0mi-λt{\ Displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t}}

El término N 0 es la concentración en el momento inicial.

La vida útil promedio es, por lo tanto, la media aritmética , o expectativa matemática , de la vida útil:

t¯=1NO0∫0+∞tDNO′(t)Dt=1λ{\ Displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {d} \ mathrm { N} '(t) \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {\ lambda}}}. Demostración

Estadísticamente, el número de partículas en descomposición (o sistemas que presentan fallas) entre los tiempos t y t + d t es:

NO(t+Dt)-NO(t)=NO′(t)Dt=-NO0λmi-λtDt{\ Displaystyle \ mathrm {N} (t + \ mathrm {d} t) - \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} '(t) \ mathrm {d} t = - \ mathrm {N} _ {0} \ lambda \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}

Es el número de partículas que han tenido un tiempo de vida t . Por tanto, el promedio de estas vidas

t¯=1NO0∫0+∞tNO′(t)Dt=-λ∫0+∞tmi-λtDt{\ Displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {N} '(t ) \ mathrm {d} t = - \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}

Se realiza una integración por partes  :

t×mi-λt=tu×v′{\ Displaystyle t \ times \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = u \ times v '}

con

tu=t ; v′=mi-λttu′=1 ; v=-1λmi-λt{\ Displaystyle {\ begin {alineado} u = t & {\ text {; }} & v '= \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \\ u' = 1 & {\ text {; }} & v = - {\ frac {1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ end {alineado}}}

es

t¯=-λ[tuv]0+∞+λ∫0+∞tu′vDt=-λ[-tλmi-λt]0+∞+λ∫0+∞(-1λ)mi-λtDt{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ lambda \ left [uv \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} u'v \ mathrm {d} t = - \ lambda \ left [- {\ frac {t} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left (- {\ frac {1} {\ lambda}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t }

tenemos, para λ positivo (ver Comparación asintótica> Escala de comparación ),

limt→+∞tmi-λt=0{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = 0}

por lo tanto, el primer término es cero, permanece

t¯=-∫0+∞mi-λtDt=[1λmi-λt]0+∞=1λ{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t = \ left [{\ frac { 1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} = {\ frac {1} {\ lambda}}}

CQFD.

A menudo usamos la letra griega τ (tau):

τ = 1 / λ

y luego podemos expresar la ley de disminución con τ en lugar de λ:

NO(t)=NO0mi-tτ{\ Displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {\ frac {-t} {\ tau}}}

La realidad física de la desintegración se describe así de manera más explícita.

También es posible relacionar el tiempo de vida media con el tiempo de vida medio. El tiempo de vida media t _ 1/2 se define como el tiempo necesario para la desintegración de la mitad de las partículas; en otras palabras, la concentración N ( t 1/2 ) debe ser equivalente a N 0/2 . Matemáticamente, es la mediana . Esto conduce a la siguiente equivalencia:

t1/2=τ⋅en⁡2=en⁡2λ{\ Displaystyle t_ {1/2} = \ tau \ cdot \ ln 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}}

usar

La vida media es el parámetro más utilizado para caracterizar un isótopo radiactivo o una partícula elemental inestable. Por lo general, la datación por carbono 14 solo requiere un conocimiento previo de la proporción de carbono 14 en los organismos vivos y la vida media del isótopo de carbono 14.

Otras leyes estadísticas

No todos los sistemas siguen una ley exponencial. En particular, la tasa de falla instantánea no tiene por qué ser uniforme:

• puede disminuir, lo que indica que el sistema se vuelve más robusto con el tiempo o que los sistemas con defectos juveniles se eliminan en una etapa temprana (ver Mortalidad infantil , Mortalidad infantil y Enfrentamiento )
• puede crecer, lo que indica un fenómeno de envejecimiento, desgaste;
• puede tener una curva de “bañera”, con tres etapas en la vida del sistema: decreciente, luego constante y luego creciente.

En todos los casos, la vida media t permanece igual a la expectativa matemática.

En muchos casos, se utiliza una ley de Weibull , con una población (ley de supervivencia) expresada en la forma:

NO(t)=NO0×mi-(X/λ)β{\ Displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ times \ mathrm {e} ^ {- (x / \ lambda) ^ {\ beta}}}

o :

• β (letra griega beta) es el parámetro de forma;
• λ es el parámetro de escala.

Esta ley permite modelar simplemente muchos tipos de perfiles: exponencial con β = 1 - pero notamos que el parámetro de forma λ es entonces el inverso de λ de la ley exponencial -, Gaussiano con un β entre 3 y 4,… Nosotros entonces tenga:

t¯=τ=λ×Γ(1+1/β){\ Displaystyle {\ bar {t}} = \ tau = \ lambda \ times \ Gamma (1 + 1 / \ beta)}

con Γ la función gamma - en el caso de la ley exponencial, β = 1, tenemos Γ (2) = 1.

Vida media y vida media de varias leyes estadísticas continuas

Ley	Función de supervivencia R ( t ) = N ( t ) / N 0	Vida media τ = t	Vida media t 1/2 = L 50 = B 50
Exponencial	exp (-λ t )	1 / λ	ln (2) / λ
Normal	1-Φ(t-μσ){\ Displaystyle 1- \ Phi \ left ({\ frac {t- \ mu} {\ sigma}} \ right)}	μ	μ
Logaritmo normal	1-Φ(en⁡t-μσ){\ Displaystyle 1- \ Phi \ left ({\ frac {\ ln t- \ mu} {\ sigma}} \ right)}	exp (μ + σ 2 /2)	exp (μ)
Weibull	Exp⁡(-(t/λ)β){\ Displaystyle \ exp \ left (- (t / \ lambda) ^ {\ beta} \ right)}	λΓ (1 + 1 / β)	λln (2) 1 / β
Χ 2	γ(k/2,t/2)Γ(k/2){\ Displaystyle {\ frac {\ gamma (k / 2, t / 2)} {\ Gamma (k / 2)}}}	k	≈ k - 2/3
Logística	11+Exp⁡(X-μs){\ Displaystyle {\ frac {1} {1+ \ exp \ left ({\ frac {x- \ mu} {s}} \ right)}}}	μ	μ
Logística-logística	αβtβ+αβ{\ Displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {\ beta}} {t ^ {\ beta} + \ alpha ^ {\ beta}}}}	απβpecado⁡(π/β){\ Displaystyle {\ frac {\ alpha \ pi} {\ beta \ sin (\ pi / \ beta)}}}	α

Notas y referencias

Notas

1. Es el complemento de la función de distribución  : R ( t ) = 1 - F ( t )

Referencias

Ver también

• Desintegración radioactiva
• Tiempo medio de funcionamiento antes de la avería

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