Diagrama de McCabe-Thiele

El diagrama de McCabe-Thiele es uno de los métodos para el análisis de una mezcla de dos compuestos durante la destilación fraccionada .

Se basa en el hecho de que la composición en cada meseta teórica (o etapa de equilibrio) está determinada por la fracción molar de uno de los dos componentes, y en el supuesto de que los flujos molares de la fase líquida y de vapor en la zona de enriquecimiento, así como los flujos molares de la fase líquida y de vapor en la zona de agotamiento, son constantes. Esta hipótesis se verifica si los dos cuerpos tienen calor de vaporización similar, si las pérdidas de calor son insignificantes y si la columna está en modo permanente.

El propósito de este diagrama es dar el número equivalente de platos teóricos (NEPT) de la destilación, la altura equivalente de un plato teórico (HEPT) así como las condiciones necesarias para una buena separación de los dos compuestos.

Construcción

Antes de construir el diagrama de McCabe-Thiele para la destilación de una mezcla binaria, se necesitan los datos de equilibrio líquido-vapor (VLE) de la mezcla para trazar la curva de equilibrio.

Primero debemos dibujar el eje xy el eje y, que deben tener la misma escala. El eje x corresponde a la fracción molar del compuesto más volátil en la fase líquida y el eje y corresponde a la fracción molar del compuesto más volátil en la fase de vapor. Luego, debemos trazar la línea y = x, así como la curva de equilibrio líquido-vapor del compuesto más volátil utilizando los datos ELV previamente buscados. Finalmente, es necesario trazar la línea de operación en la zona de enriquecimiento, la línea de operación en la zona de agotamiento y la línea de suministro. Para ello, se realiza un balance de materiales en estas áreas, como se detalla a continuación.

Derecho de explotación de la zona de enriquecimiento (DOZE)

Para mayor aclaración, observamos:

x d : fracción molar del compuesto más volátil del destilado,
D: caudal molar de destilado,
L: caudal molar de líquido en la zona de enriquecimiento,
V: flujo molar de vapor en la zona de enriquecimiento,
n: número de meseta, que aumenta de abajo hacia arriba,
x n : composición del líquido de cualquier meseta n,
y n + 1 : composición del vapor que llega a la meseta n + 1, justo por encima de la meseta n.

Por definición, la tasa de reflujo es . ${\ Displaystyle R = {\ frac {L} {D}}}$

Según una evaluación general, tenemos:

{\ Displaystyle V = L + D}

En los más volátiles, tenemos:

{\ Displaystyle y_ {n + 1} V = x_ {n} L + x_ {d} D}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow y_ {n + 1} = x_ {n} {\ frac {L} {V}} + x_ {d} {\ frac {D} {V}}}

Ahora debemos expresar y en función de R: ${\ Displaystyle {\ frac {L} {V}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {D} {V}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {V} {L}} = \ left ({\ frac {L + D} {L}} \ right) = 1 + {\ frac {1} {R}} = \ left ({ \ frac {R + 1} {R}} \ right)}$ , es ${\ Displaystyle {\ frac {L} {V}} = \ left ({\ frac {R} {R + 1}} \ right)}$
${\ Displaystyle {\ frac {V} {D}} = \ left ({\ frac {L + D} {D}} \ right) = {\ frac {L} {D}} + 1 = R + 1}$ , es ${\ Displaystyle {\ frac {D} {V}} = \ left ({\ frac {1} {R + 1}} \ right)}$

De ahí la ecuación DOZE:

{\ Displaystyle y_ {n + 1} = \ left ({\ frac {R} {R + 1}} \ right) x_ {n} + \ left ({\ frac {1} {R + 1}} \ right ) x_ {d}}

Esta línea coincide con la composición de las fases líquida y de vapor que se cruzan entre las placas n y n + 1. Para dibujarlo, tomamos dos puntos particulares:

${\ Displaystyle x_ {n} = x_ {d}}$
${\ Displaystyle x_ {n} = 0}$

Por tanto obtenemos:

{\ Displaystyle y (x_ {d}) = \ left ({\ frac {R} {R + 1}} \ right) x_ {d} + \ left ({\ frac {1} {R + 1}} \ derecha) x_ {d} = x_ {d}}

{\ Displaystyle y (0) = \ left ({\ frac {x_ {d}} {R + 1}} \ right)}

Por lo tanto, podemos trazar la DOZE de la pendiente que pasa por el punto y también por el punto . ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {R} {R + 1}} \ right)}$ ${\ Displaystyle (x_ {d}; x_ {d})}$ ${\ Displaystyle (0; {\ frac {x_ {d}} {R + 1}})}$

Operando directamente en la zona de empobrecimiento (DOZA)

Apuntamos :

L ': caudal de líquido en molar en la zona de agotamiento,
V ': flujo de vapor en molar en la zona de agotamiento,
x s : fracción molar del compuesto más volátil en la extracción,
S: caudal de extracción en molar,
n: número de meseta, que aumenta de abajo hacia arriba,
x n: composición del líquido de cualquier meseta n,
y n + 1 : composición del vapor que llega a la meseta n + 1, justo por encima de la meseta n.

Por definición, la tasa de ebullición es . ${\ Displaystyle R_ {b} = {\ frac {V '} {S}}}$

Según una evaluación general, tenemos:

{\ Displaystyle L '= V' + S}

En los más volátiles, tenemos:

{\ Displaystyle L'x_ {n} = V'y_ {n + 1} + Sx_ {s}}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow y_ {n + 1} = {\ frac {L '} {V'}} x_ {n} - {\ frac {S} {V '}} x_ {s}}

Debemos expresar y en función de R b : ${\ Displaystyle {\ frac {L '} {V'}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {S} {V '}}}$

${\ Displaystyle R_ {b} = {\ frac {V '} {S}} \ Flecha izquierda {\ frac {S} {V'}} = {\ frac {1} {R}} _ {b}}$
${\ Displaystyle L '= V' + S \ Leftrightarrow S = L'-V '}$ , por lo tanto ${\ Displaystyle {\ frac {1} {R}} _ {b} = {\ frac {L'-V '} {V'}} = {\ frac {L '} {V'}} - 1}$ ${\ Displaystyle {\ frac {L '} {V'}} = {\ frac {1} {R_ {b} +1}} = {\ frac {R_ {b} +1} {R_ {b}}} }$

De ahí otra expresión de la ecuación de DOZA:

{\ Displaystyle y_ {n + 1} = {\ frac {R_ {b} +1} {R_ {b}}} x_ {n} - {\ frac {1} {R}} _ {b} x_ {s }}

Esta línea coincide con las composiciones de las fases líquida y vapor que se cruzan entre dos placas. Para dibujarlo, tomamos dos puntos particulares:

${\ Displaystyle x_ {n} = x_ {s}}$ ;
intersección entre DOZE y DA.

Por tanto obtenemos:

{\ Displaystyle y (x_ {s}) = {\ frac {R_ {b} +1} {R_ {b}}} x_ {s} - {\ frac {1} {R}} _ {b} = x_ {s}}

Por tanto, podemos trazar la DOZA de pendiente y paso por el punto . ${\ Displaystyle {\ frac {R_ {b} +1} {R_ {b}}}}$ ${\ Displaystyle (x_ {s}; x_ {s})}$

Línea operativa en alimentación (DA)

Se realizan cuatro evaluaciones sucesivas: sobre el precalentamiento, sobre el plato de alimentación, sobre las zonas de enriquecimiento y agotamiento y sobre el pienso.

Revisión de precalentamiento

Para mayor aclaración, observamos:

A: velocidad de alimentación,
x A : fracción molar del compuesto más volátil de la dieta,
V A : flujo de vapor en molar de la alimentación,
L A : caudal de líquido en molar de la alimentación,
y VA : composición de la fase de vapor a temperatura de suministro,
x LA : composición de la fase líquida a la temperatura del pienso.

El balance general da:

{\ Displaystyle A = V_ {A} + L_ {A}}

En los más volátiles, tenemos:

{\ Displaystyle Ax_ {A} = V_ {A} y_ {VA} + L_ {A} x_ {LA}}

A y x A son conocidas, x LA e y VA deben determinarse a partir del diagrama de isobaras o de una tabla de datos, y V A y L A son desconocidas y deben determinarse con las dos ecuaciones.

Balance en el estante de alimentos

Se realizan dos balances: uno sobre el flujo de vapor y otro sobre el flujo de líquido. En cuanto al balance de vapor, tenemos:

{\ Displaystyle V = V_ {A} + V '}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow V_ {A} = V-V '}

Para el balance líquido tenemos:

{\ Displaystyle L '= L + L_ {A}}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow L_ {A} = L'-L}

Valoración de zonas de enriquecimiento y empobrecimiento

Para la zona de enriquecimiento tenemos:

{\ Displaystyle Vy = Lx + Dx_ {d}}

Para la zona de empobrecimiento tenemos:

{\ displaystyle L'x = V'y + Sx_ {s}}

Sumamos las dos ecuaciones:

{\ Displaystyle Vy + L'x = Lx + V'y + Dx_ {d} + Sx_ {s}}

Sin embargo, según la valoración global de toda la dieta, tenemos:

{\ Displaystyle Dx_ {d} + Sx_ {s} = Ax_ {A}}

Finalmente, obtenemos:

{\ displaystyle Vy + L'x = Lx + V'y + Ax_ {a}}

Revisión de alimentos

Según la ecuación anterior, tenemos:

{\ displaystyle Vy + L'x = Lx + V'y + Ax_ {a}}

Podemos determinar la ecuación de la línea de suministro, de hecho, tenemos:

{\ Displaystyle y (V-V ') = x (L-L') + Ax_ {A}}

oro :

{\ Displaystyle V-V '= V_ {A}}

{\ Displaystyle L-L '= - L_ {A}}

Así tenemos:

{\ Displaystyle yV_ {A} = - xL_ {A} + Ax_ {A}}

Entonces la ecuación de la línea de suministro es:

{\ Displaystyle y = - {\ frac {L_ {A}} {V_ {A}}} x + {\ frac {A} {V_ {A}}} x_ {A}}

Expresión de la línea de alimentación en función de la fracción de líquido de alimentación

Por definición, la fracción líquida de alimentación es . ${\ Displaystyle q = {\ frac {L_ {A}} {A}}}$

Primero lo expresamos en función de : ${\ Displaystyle {\ frac {L_ {A}} {V_ {A}}}}$ $q$

{\ Displaystyle A = L_ {A} + V_ {A}}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow V_ {A} = A-L_ {A}}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {L_ {A}} {V_ {A}}} = {\ frac {L_ {A}} {A-L_ {A}}}}

Al invertir, tenemos:

{\ Displaystyle {\ frac {V_ {A}} {L_ {A}}} = {\ frac {A-L_ {A}} {L_ {A}}} = {\ frac {1-q} {q} }}

de donde :

{\ Displaystyle {\ frac {L_ {A}} {V_ {A}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Entonces expresamos en función de : ${\ Displaystyle {\ frac {A} {V_ {A}}}}$ $q$

{\ Displaystyle A = L_ {A} + V_ {A}}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow L_ {A} = A-V_ {A}}

{\ Displaystyle q = {\ frac {L_ {A}} {A}} = {\ frac {A-V_ {A}} {A}} = 1 - {\ frac {V_ {A}} {A}} }

de donde :

{\ Displaystyle {\ frac {V_ {A}} {A}} = 1-q \ Leftrightarrow {\ frac {A} {V_ {A}}} = {\ frac {1} {1-q}}}

Por tanto, podemos expresar la ecuación de la línea de alimentación en función de la fracción líquida de la alimentación:

{\ Displaystyle y = {\ frac {q} {q-1}} x - {\ frac {1} {q-1}} x_ {A}}

Para graficar la DA, tomamos dos puntos particulares: el punto (composición de las fases L y V a la temperatura de suministro) y el punto cuando , que da . ${\ Displaystyle (x_ {LA}; y_ {VA})}$ ${\ Displaystyle x = x_ {A}}$ ${\ Displaystyle y (x_ {A}) = {\ frac {q} {q-1}} x_ {A} - {\ frac {1} {q-1}} x_ {A} = x_ {A}}$

Profundización

Nótese que es posible dibujar un diagrama teniendo en cuenta las entalpías del líquido (isobaras de rocío) y del vapor saturado (isobaras de ebullición) en función de las fracciones xey de la mezcla utilizando el diagrama de Ponchon y Savarit.

Bibliografía

[PDF] Rectificación de ingeniería química
Daniel Morvan, Ingeniería química, operaciones unitarias: procesos industriales , ediciones Ellipses, 2009 ( ISBN 978-2-7298-4384-7 )
Emilian Koller, Lista de verificación: ingeniería química , ediciones Dunod, 2005 ( ISBN 2-10-049177-6 )