Cruz de Malta (mecanismo)

La cruz de Malta es un dispositivo mecánico que transforma un movimiento de rotación continuo en una rotación brusca. Su nombre deriva de su parecido con la cruz de Malta (✠, símbolo de la Orden de San Juan de Jerusalén o de la Soberana Orden de Malta ) pero con lados circulares. En inglés y español, este mecanismo toma su nombre de la ciudad de Ginebra ( unidad de Ginebra , Rueda de Ginebra ), pero en inglés también se usa el término cruz de Malta .

El dispositivo mecánico consta de una leva accionada por un "seguidor", que permite la indexación .

Histórico

El inventor Jules Carpentier en Francia, que trabajó con los hermanos Lumière , y Oskar Messter , uno de los pioneros del cine alemán, patentaron dispositivos de cruz de Malta ya en 1896. Pero es la cruz de Malta para cuatro ramas de Pierre-Victor Continsouza lo que Fue entonces el más utilizado en dispositivos de proyección cinematográfica.

Usos

Se utiliza en particular para películas (no digitales) en proyectores y, raramente, en cámaras , para el avance de la película: la película debe detenerse en cada imagen frente al obturador (rodaje) o frente a la lámpara. (proyección).

Este mecanismo se encuentra en contadores mecánicos (kilometraje del automóvil, consumo de agua o gas, etc.) donde garantiza la alineación de las figuras y su inclinación en cada detención. También se utiliza en máquinas que realizan un transfer de producto con necesidad de un tiempo de espera cuando se introduce (que el sistema biela-manivela no permite). Por ejemplo, se encuentra en la base de los movimientos utilizados en las máquinas de envasado: los productos se introducen en una tienda de alimentos según una cantidad predefinida (fase de parada), luego se envuelven durante el movimiento de transferencia (fase en movimiento).

Operación

El funcionamiento del mecanismo de la cruz de Malta es el siguiente: un cilindro, llamado manivela o rueda motriz, gira continuamente, con una velocidad regular, y lleva un dedo. El dedo entra en una ranura en la cruz de Malta (la rueda impulsada), lo que hace que gire 1 / n de vuelta, donde n es el número de ranuras en la cruz ( n = 4 en la figura opuesta, 6 en la animación l de arriba).

Luego, el dedo sale de la ranura, el cilindro del motor continúa su curso mientras la cruz de Malta permanece inmóvil. El cilindro central, parcialmente ahuecado, complementa la redondez de la cruz de Malta; esto sirve para estabilizar la posición del dispositivo cuando el dedo no está enganchado en una ranura.

El número de ranuras puede tomar valores pares o impares, generalmente entre 4 y 10.

Variantes

Cruz de Malta interna.
Operación de una cruz de Malta interna.
Cruz de Malta esférica.

Hay dos variantes: la cruz de Malta interna, y la cruz de Malta esférica, "en tulipán" (sistema con ejes concurrentes).

En el caso de la cruz de Malta interna, el eje del motor (que lleva la rueda motriz) está montado en un eje en voladizo (en voladizo , se sostiene solo en un lado). Por lo tanto, el eje es más sensible a la flexión, lo que puede ser un problema si la carga es pesada.

Además, el tiempo de conducción es superior a la mitad de un período: se necesita más de media vuelta de la rueda motriz para hacer que la rueda motriz gire en un incremento. La duración del entrenamiento (tiempo motor) es, por tanto, mayor que la duración del descanso, a diferencia de una cruz de Malta externa. En consecuencia, la aceleración máxima es menor, pero aún presenta discontinuidades al inicio y al final del movimiento.

En el caso de la cruz de Malta esférica, el árbol también debe estar en voladizo. El tiempo de entrenamiento es medio período; la duración del entrenamiento es igual a la duración del descanso.

Tributos

Algunos cineastas han rendido homenaje a este mecanismo, fundamental para el rodaje y la proyección en película:

Wim Wenders , en The American Friend (1977): un niño, hijo de Jonathan y Marianne Zimmermann, juega con una cruz de Malta de madera; y en Au fil du temps (1976) “el cine no existiría sin este invento” según Bruno Winter, el protagonista, reparador de proyectores.
Martin Scorsese en Hugo Cabret (2011): cuando Georges Méliès termina su autómata, la última pieza que pone en su lugar es una cruz de Malta.

La Cruz de Malta era el logo de la marca de proyectores Cinemeccanica (it) . El logo actual así como el logo de su marca CineCloud es una cruz de Malta estilizada (ver el logo en la página oficial ).

Estudio mecánico

Restricciones geométricas

El punto crítico de operación es cuando el dedo entra en la ranura. Esto impone una relación entre el radio de la manivela R, es decir la distancia entre el centro del dedo y el centro de la rueda motriz que lo soporta, y la distancia al centro E, es decir la distancia entre el centro de la rueda motriz y el centro de la cruz de Malta. Para que no haya choque, el vector de velocidad debe estar en el eje de la ranura.

Llamamos α a la mitad del ángulo de rotación de la rueda motriz por revolución de la rueda motriz

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

en radianes

sea $α = π / 4 = 45 °$ para cuatro ranuras, y $α = π / 6 = 30 °$ para seis ranuras. Entonces tenemos las siguientes relaciones entre la distancia al centro E, el radio de la rueda motriz R 1 y el radio de la rueda motriz R 2 :

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Entre 0 y $π / 4$ (0 y 90 °), la función seno aumenta y la función coseno disminuye en α. Deducimos que para una distancia centro dado, los más ranuras que tenemos (la más grande n es), el α más pequeño, por lo tanto es el más pequeño R 1 y cuanto mayor R 2 .

Demostración

Representemos el sistema cuando el dedo entra en la ranura. Colocamos la línea que conecta los centros de las ruedas con la horizontal. Por tanto, la ranura forma un ángulo α con la horizontal El vector de velocidad es perpendicular a la trayectoria; como el dedo describe un círculo, la línea que lleva el vector velocidad es, por tanto, tangente al círculo, es decir, perpendicular al radio en este punto. Por tanto, tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa E, uno de cuyos ángulos es $π / ny$ cuyo lado opuesto al ángulo tiene una longitud R 1 . Entonces tenemos :

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

El radio del círculo circunscrito a la cruz de Malta es también la longitud del lado adyacente del triángulo rectángulo, es decir.

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Además, el ancho nominal de la ranura debe ser igual al diámetro nominal 2 r del dedo: más pequeño, el dedo no podría entrar, demasiado grande, habría un choque. En la práctica, hay un juego: la ranura debe ser un poco más ancha que el dedo para permitir el movimiento. Es posible utilizar el llamado ajuste de "deslizamiento sin juego" o, más precisamente, "guía precisa", denominada H7 / g6, para limitar los choques, pero esto es costoso de lograr.

El final de las ramas debe tener un ancho distinto de cero. De hecho, es necesario imponer un ancho mínimo e 1 , que depende de la resistencia deseada. Esto impone un radio máximo para el cilindro inmovilizador. Además, el contacto debe ser efectivo, por lo tanto, existe un radio mínimo, a saber:

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

la dimensión ae 1 siendo el espesor que se desea mantener en el extremo de la rama con el fin de tener una resistencia suficiente.

Demostración

Tenemos probabilidades nominales (asumiendo un despeje cero):

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Debido al espacio libre necesario, de hecho es necesario

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

la diferencia (R 1 - r - e 1 ) - R 3 es el juego.

El contacto debe ser efectivo, por lo que también necesariamente tenemos:

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

La longitud mínima de la ranura L se obtiene considerando la posición en la que el dedo está más enganchado. Luego tenemos, al orientar las longitudes hacia la izquierda:

{\ Displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ izquierda (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

La longitud máxima es la que deja suficiente material para que la cruz de Malta resista el estrés. Si llamamos r a el radio del eje de la cruz de Malta ye 2 el espesor mínimo de material que queremos, entonces tenemos:

{\ Displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Estudio cinemático

Se supone que la rueda motriz (manivela) gira con una velocidad angular constante ω (movimiento de rotación uniforme). La figura de enfrente representa el mecanismo en funcionamiento. Si notamos como antes

n el número de ranuras en la cruz de Malta (rueda motriz);
α = 2π / n el ángulo entre dos ranuras

y que te presentamos el informe

{\ Displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

luego notamos que:

la velocidad angular máxima de la rueda impulsada es ;
${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
vale la máxima aceleración angular, dependiendo del número de ranuras:
- n = 4: α 0 ≃ 3.82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0.375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 0 0,268 × ω 2 ;
la aceleración angular inicial y final no son cero, lo que significa que la rueda accionada está sometida a sacudidas angulares infinitas ( diracs ) limitadas en la práctica por la elasticidad y la fricción del sistema.

Estos picos de sacudidas no suponen un problema mientras uno se mantenga a bajas velocidades e inercias. Por otro lado, se vuelven prohibitivos para sistemas de alta velocidad y alta carga.

Demostración

Llamamos ángulo de entrada, y denotamos por θ e , el ángulo que forma el rayo que pasa por el dedo con el eje x , y que caracteriza la orientación de la rueda motriz. Llamamos ángulo de salida, y denotamos por θ s , el ángulo formado por el eje de una ranura con respecto al eje x , y que caracteriza la orientación de la rueda conducida.

Estudio de la intermitencia

El ángulo de entrada θ e cambia uniformemente

{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

la velocidad angular ω es negativa en el dibujo. Por tanto, la ecuación horaria del ángulo de entrada se escribe

{\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

donde $φ$ es el ángulo en t = 0, elegido arbitrariamente. Para la representación gráfica, elegimos $φ de$ modo que el dedo entre en la ranura en t = 0, es decir,

{\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

La duración del entrenamiento $τ$ corresponde a una rotación de la rueda motriz desde un ángulo $φ$ al ángulo simétrico - $φ$ , es decir

{\ Displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ Displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

El período total es igual a $T = -2π / ω$ , por lo que la fase de entrenamiento es una fracción del valor total del período

{\ Displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Posteriormente, en aras de la simplicidad, determinamos θ s como una función de θ e en lugar de t .

Estudio de relaciones angulares

El ángulo de entrada está relacionado con el ángulo de salida por el hecho de que los dos triángulos rectángulos tienen el mismo lado opuesto h :

{\ Displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Entonces tenemos

{\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ derecha)}

Leyes del movimiento

Como preliminar, calculemos las siguientes derivadas:

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

y de la misma manera

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

La velocidad angular de la rueda accionada se obtiene mediante bypass. Retomemos la expresión de tan θ s . Si derivamos la extremidad izquierda, tenemos

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ derecho)}

y derivando el lado derecho:

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Al escribir la igualdad de los dos miembros, obtenemos

{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Derivando, se determina la aceleración angular:

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Observamos que esta aceleración desaparece para θ e = 0, por lo que la velocidad es máxima en este punto, y

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

En el origen, tenemos θ e = φ y por lo tanto

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

por tanto, hay una sacudida infinita en el origen. Por simetría, hay un tirón infinito al final del movimiento.

Derivando la aceleración, obtenemos el tirón durante el movimiento:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ izquierda (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ right) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {alineado}}}

La aceleración es máxima cuando se cancela el tirón, lo que equivale a resolver:

{\ Displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

es decir, estableciendo x = cos θ e

{\ Displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

que es una ecuación cuadrática de discriminante estrictamente positivo

{\ Displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Por tanto, la ecuación admite dos soluciones reales

{\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Obtenemos, para algunos valores de n :

no	k	x 1	x 2	θ e	Acc. máx.
4	√2	0,980	1,33	-0,200 radios (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1,17	-0.400 rad (-22.9 °)	0,675 × ω 2
8	2,61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Aplicación digital

Considere un proyector de cine con una cruz de Malta de cuatro ranuras. Entonces tenemos :

una rueda motriz de frecuencia de rotación N = 24 Hz (24 cuadros por segundo), o ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
una relación de $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

y entonces

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 × 10 4 rad / s 2 .

Notas y referencias

" Cruz de Malta " , en projector.mip.free.fr (consultado el 30 de junio de 2016 )

Ver también

Bibliografía

(en) John H. Bickford , Mechanisms for intermittent motion , Nueva York, Industrial Press inc.,1972, 264 p. ( ISBN 0-8311-1091-0 , leer en línea ) , cap. 9 (“Mecanismos de Ginebra”) , pág. 127-138

enlaces externos

La cruz de Malta en el sitio de la Universidad de Nantes (animación infantil de Java )
La Cruz de Malta : sitio relacionado con los inicios de la historia del cine visto a través de libros de época

Cruz de Malta (mecanismo)

Histórico

Usos

Operación

Variantes

Tributos

Estudio mecánico

Restricciones geométricas

Estudio cinemático

Notas y referencias

Ver también

Bibliografía

Artículos relacionados

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