Curva pseudoholomorfa

En topología y geometría , una curva pseudoholomórfica es un mapeo de una superficie de Riemann , posiblemente en el borde, en una variedad casi compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . La regularidad viene impuesta por la regularidad de la estructura casi compleja utilizada.

Introducidos en 1985 por Mikhaïl Gromov , juegan un papel central en la geometría simpléctica e intervienen en particular en la definición de homología de Floer .

Definición

A lo largo del artículo, J denota una estructura casi compleja de clase C k en una variedad diferencial M  : en otras palabras, J es un campo de operadores en el espacio tangente de M de clase C k que satisface J 2 = -Id. es una superficie de Riemann, posiblemente en el borde; j denota la estructura casi compleja asociada. Según el teorema de la uniformización , j es equivalente a los datos de una estructura conforme. Si es necesario, se introduce un área de d v en la superficie , lo que equivale a especificar una métrica de Riemann. Σ{\ Displaystyle \ Sigma}Σ{\ Displaystyle \ Sigma}

Una curva pseudoholomorfa es un mapa ( , j ) ( M , J ) que verifica la identidad: Σ{\ Displaystyle \ Sigma}→{\ displaystyle \ rightarrow}

Dtu∘j=J∘Dtu{\ Displaystyle du \ circ j = J \ circ du}.

Esta identidad significa exactamente que el diferencial d u  : T T M es un morfismo de paquetes de vectores complejos . Σ→{\ Displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

La cuestión de la regularidad de u en la definición es secundaria. El mapa u es necesariamente de clase C k -1 .

Energía

En geometría simpléctica , dada una forma simpléctica , es una práctica común introducir una estructura J casi compleja que sea compatible. ω{\ Displaystyle \ omega}ω{\ Displaystyle \ omega}

mi(tu)=∫Σ‖Dtu‖22Dv=∫ΣF∗ω{\ Displaystyle E (u) = \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ | du \ | ^ {2}} {2}} dv = \ int _ {\ Sigma} f ^ {*} \ omega}

Un primer punto importante es que la finitud de la energía permite la extensión de las curvas pseudoholomorfas en los puntos donde no están definidas:

Teorema de elevación de singularidad  : sea  ( M , ) una variedad simpléctica compacta y J una estructura casi compleja compatible. Es una curva pseudoholomorphe u dominio de un barrio abierto embotamiento V - {0} 0 en C . Si u es de energía finita, en otras palabras, si ω{\ Displaystyle \ omega}ω{\ Displaystyle \ omega}

∫V-{0}F∗ω<∞{\ Displaystyle \ int _ {V - \ {0 \}} f ^ {*} \ omega <\ infty}

Entonces u se extiende (por continuidad) a 0 en un pseudoholomorphe definido en la curva de V .

La evidencia se basa en argumentos de carácter analítico. Por ejemplo, bajo los supuestos del teorema anterior, una curva pseudoholomórfica C ( M , J ) de energía finita se extiende hacia una esfera pseudoholomórfica S 2 = C ( M , J ). →{\ displaystyle \ rightarrow}∪{∞}→{\ Displaystyle \ cup \ {\ infty \} \ rightarrow}

Un segundo punto importante es una propiedad de cuantificación de la energía de esferas pseudoholomorfas:

Teorema - Sea una variedad simpléctica compacta ( M , ) y J una estructura casi compleja compatible. Entonces existe un número finito de clases de homotopía A en H 2 ( M , Z ), de manera que A puede ser representada por una esfera pseudoholomórfica de energía menor que c . ω{\ Displaystyle \ omega}ω{\ Displaystyle \ omega}

Este resultado sigue siendo válido al reemplazar J por una familia compacta de estructuras compatibles casi complejas . ω{\ Displaystyle \ omega}

Estabilidad

Las curvas pseudoholomorfas exhiben propiedades de estabilidad o compacidad.

Deje que M sea un múltiple compacto , y una secuencia J n de la clase casi complejas estructuras C convergen a J en el sentido de C topología . Para una superficie de Riemann , sea una secuencia de curvas pseudoholomorfas u n : ( M , J n ) tal que: ∞{\ Displaystyle \ infty}∞{\ Displaystyle \ infty}Σ{\ Displaystyle \ Sigma}Σ→{\ Displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

sorberno‖Dtuno‖L∞(K)<∞{\ Displaystyle \ sup _ {n} \ | du_ {n} \ | _ {L ^ {\ infty} (K)} <\ infty}

para cualquier K compacto de . Entonces, la secuencia u n admite una subsecuencia que converge uniformemente, así como todas sus derivadas en cualquier compacto de . El límite u es necesariamente una curva pseudoholomórfica ( M , J ). Σ{\ Displaystyle \ Sigma}Σ{\ Displaystyle \ Sigma}Σ→{\ Displaystyle \ Sigma \ rightarrow}

Bibliografía

(en) Dusa McDuff y Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society,2004( ISBN  0-8218-3485-1 )

(en) Mikhaïl Gromov , Curvas pseudo holomorfas en variedades simplécticas , vol.  82, Inventiones mathicae ( n o  2),1 st 06 1985, pag. 307–347  pág. ( DOI  10.1007 / BF01388806 )

( fr ) Simon Donaldson , ¿Qué es ... una curva pseudoholomórfica? , Notices of the American Mathematical Society, 52 (9),Octubre de 2005, 1026–1027  pág. ( leer en línea [PDF] )

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