Constante de Gelfond-Schneider

La constante de Gelfond-Schneider mencionado por David Hilbert como un ejemplo (con Gelfond constante ) en su 7 º problema es:

22=2,665144142...{\ Displaystyle 2 ^ {\ sqrt {2}} = 2 {,} 665144142 \ ldots}

Rodion Kuzmin demostró en 1930 que este número - y más en general, cualquier número de la forma α β con α algebraico diferente de 0 y de 1 y β cuadrático irracional - es trascendente , y Aleksandr Gelfond generalizó este resultado en 1934, demostrando el teorema por Gelfond-Schneider .

Su raíz cuadrada es el número trascendente

22=1.6325269...{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} = 1 {,} 6325269 \ ldots}

que puede usarse en una prueba de que una potencia irracional de un número irracional a veces puede ser racional, porque ( √ 2 √ 2 ) √ 2 = 2 ( usando el tercero excluido puede llegar a la misma conclusión sin saber que √ 2 √ 2 es irracional).

Referencias

1. (en) Eric W. Weisstein , "  Gelfond-Schneider Constant  " en MathWorld .
2. Suite A007507 de OEIS . 
3. (ru) R. Kuzĭmin, "  Об одном новом классе трансцендентных чисел  " ["Sobre una nueva clase de números trascendentes"], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII  (en) , n o  6,1930, p.  585-597 ( leer en línea ).