Constante de Euler-Mascheroni

En matemáticas , la constante de Euler - Mascheroni , o la constante de Euler, es una constante matemática, utilizada principalmente en la teoría de números , definida como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural . Por lo general, se anota (gamma en minúsculas). $\gama$

Lista de números γ - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	0,100 100 111100 010 001 1…
Decimal	0,577 215 664 901532 860 6 ...
Hexadecimal	0,93C 467 E37 DB0 C7A 4D1 B…
Fracción continua	${\ displaystyle 0 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {\ \ " ddots \ {}}}}}}}}}}}}$ (aún no se sabe si esta fracción continua termina o no).

Definición

La constante de Euler-Mascheroni $γ$ se define de la siguiente manera:

{\ Displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} { 4}} + \ puntos + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n) \ derecha)}

De forma condensada obtenemos:

{\ Displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) \ right) }

La constante también se puede definir en la forma explícita de una serie (como la introdujo Euler):

{\ Displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ bien bien]}

La serie armónica diverge , al igual que el término secuencia general $ln ( n )$ ; la existencia de esta constante indica que las dos expresiones están relacionadas asintóticamente.

Valor aproximado y propiedades

Los primeros 10 lugares decimales de la constante de Euler-Mascheroni (continuación A001620 de OEIS ) son: $γ \approx 0.5772156649$ .

El cálculo mediante la secuencia es extremadamente lento e impreciso. No obstante, es de interés educativo para concienciar sobre los problemas de propagación de los errores de redondeo. Precisión simple, de 100.000 palabras, sumando en el orden natural, hay un error en el 4 º de error decimal bajar mucho si la suma se realiza en orden inverso (de menor a mayor), o si se utiliza el algoritmo de Kahan (véase suma (algorítmico) ). Por un millón de términos, el error llega a la 2 nd decimal en la dirección natural, y el 4 º decimal en la dirección inversa; por otro lado, por el método de Kahan, se alcanzaban los 6 decimales exactos. ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n)}$

Deben implementarse métodos más eficientes para lograr una precisión suficiente. Por ejemplo, el uso de la fórmula de Euler-Maclaurin permite obtener desarrollos asintóticos como:

{\ Displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac { 1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ dots}

Esto permitió a Euler obtener 16 decimales de $γ$ . Y Lorenzo Mascheroni en 32 propuesto en 1790 , pero con un error del 20 º , el error corregido en 1809 por Johann Georg von Soldner . Donald Knuth dio 1.271 lugares decimales en 1962 , Thomas Papanikolaou dio un millón de decimales en 1997 , P. Dechimel y X. Gourdon dieron cien millones dos años después. En 2017 , el récord verificado parece estar en manos de Ron Watkins con más de 400 mil millones de lugares decimales (477 511 832 674 para ser precisos) usando y-cruncher .

Aún se desconoce si la constante de Euler-Mascheroni es un número racional . Sin embargo, el análisis de fracción continua de la constante indica que si es racional, el denominador de su fracción irreducible tiene más de 242.080 dígitos ( Havil 2003 , p. 97).

Varias fórmulas

Fórmulas integrales

La constante de Euler-Mascheroni ocurre en varias integrales :

{\ Displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over E (x)} - {1 \ over x} \ right) \, {\ rm {d}} x}

(donde

E

es la función entera )

{\ Displaystyle = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}

{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \, {\ rm {d}} x}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {\ ln (x)}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right) \, { \ rm {d}} x}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {1} {1- \ mathrm {e} ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x} } \ right) \ mathrm {e} ^ {- x}} \, {\ rm {d}} x}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} - \ mathrm {e} ^ {- x} \ right)} \, {\ rm {d}} x}

Es posible ( Sondow 2003 , Sondow 2005 ) expresar $γ$ como una integral doble (con aquí la serie equivalente):

{\ Displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-x \, y) \ ln (x \, y )}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right)}

Otra constante se expresa de manera similar ( Sondow 2005 ):

{\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1 } {(1 + x \, y) \ ln (x \, y)}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right )}

Estas dos constantes también están vinculadas por dos series ( Sondow 2010 ):

{\ Displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}}

{\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ { 0} (n)} {2n (2n + 1)}}}

donde $N 1 ( n )$ y $N 0 ( n )$ son el número de unos y ceros en la escritura de $n$ en base 2.

Otras expresiones no clásicas de la constante de Euler se pueden encontrar en el artículo “ Medida secundaria ”.

Fórmulas en relación con determinadas funciones analíticas

La constante de Euler-Mascheroni tiene vínculos con otras funciones analíticas particulares:

Función gamma :
- ${\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- t} t ^ {z-1} \, {\ rm {d}} t = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n \ mathrm {e} ^ {z / n}} { n + z}}}$ ,
- ${\ Displaystyle \ Gamma (x) = {\ frac {1} {x}} - \ gamma + o (1)}$ cuando x se acerca a 0,
- ${\ Displaystyle \ Gamma '(1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} \ ln x} \, {\ rm {d}} x = - \ gamma }$ ,
- ${\ Displaystyle \ Gamma '' (1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} (\ ln (x)) ^ {2}} \, {\ rm {d}} x = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ ,
- ${\ Displaystyle \ Gamma '(1/2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} \ ln (x)} \, {\ rm {d}} x = - (\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}}$ ;
Función exponencial integral :
- ${\ Displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ over t} \, {\ rm {d}} t = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ over t} \, {\ rm {d}} t = \ mathrm {e} ^ {- z} \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ over {1 + t}} \, {\ rm {d}} t}$ ${\ displaystyle = {\ mathrm {e} ^ {- z} \ over z} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ over {1 + t / z} } \, {\ rm {d}} t = - \ ln z- \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} z ^ {n} \ sobre n \ cdot n!}}$ ;
Función de logaritmo integral :
- ${\ Displaystyle {\ rm {para}} \; x> 1, \ \ mathrm {li} (x) = \ gamma + \ ln (\ ln (x)) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (x) ^ {n}} {n \ cdot n!}}}$ ;
Función coseno integral :
- ${\ Displaystyle \ forall x> 0, \ \ mathrm {Ci} (x) = \ gamma + \ ln (x) + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)! (2n)}}}$ ;
Función psi :
- ${\ Displaystyle \ psi (z) = {\ Gamma '(z) \ over \ Gamma (z)} = - \ gamma - {1 \ over z} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { 1 \ sobre n} - {1 \ sobre n + z}}$ , en particular, y ; ${\ Displaystyle \ psi (1) = \ Gamma '(1) = - \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {1 \ over k} = \ psi (n + 1) + \ gamma}$
Función zeta de Riemann :
- ${\ Displaystyle \ zeta (1 + x) = {\ frac {1} {x}} + \ gamma + o (1)}$ cuando x se acerca a 0,
- ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} (\ zeta (n) -1) = 1- \ gamma}$ ,
- ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) 2 ^ {2n}}} (\ zeta (2n + 1) -1) = 1- \ gamma - \ ln {\ frac {3} {2}}}$ ,
- ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} \ zeta (n) = \ gamma}$ .

Fórmulas relacionadas con determinadas funciones aritméticas

En este párrafo, p denota un número primo .

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p} } \ right) ^ {- 1} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}$ ( Teorema de Mertens ).
${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 + {\ frac {1} {p} } \ right) = {\ frac {6 \ mathrm {e} ^ {\ gamma}} {\ pi ^ {2}}}}$ .
Sea la función de von Mangoldt , definida en enteros por si n es una potencia del número primo p y de otro modo. Entonces . $\ Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda (n) = \ ln (p)}$ $\ Lambda (n) = 0$ ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) -1} {n}} = - 2 \ gamma}$
Sea el número de divisores de n (incluido 1 y el propio n ). Entonces, cuando n tiende a infinito. $d (n)$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} d (k) = \ ln (n) +2 \ gamma -1 + O \ left ({\ frac { 1} {\ sqrt {n}}} \ right)}$
Sea la suma de los divisores del entero n . Entonces , donde lim sup denota el límite superior de la secuencia. $\ sigma (n)$ ${\ Displaystyle \ limsup {\ frac {\ sigma (n)} {n \ ln (\ ln (n))}} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}$
Sea la función indicadora de Euler . Entonces , donde lim inf denota el límite inferior de la secuencia. $\ varphi$ ${\ Displaystyle \ liminf {\ frac {\ varphi (n) \ ln (\ ln (n))} {n}} = \ mathrm {e} ^ {- \ gamma}}$

Generalización

Es posible generalizar el tema definiendo las siguientes constantes, llamadas constantes de Stieltjes :

{\ Displaystyle \ gamma (m) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k }} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ right)}

Vemos eso , la constante de Euler. ${\ Displaystyle \ gamma (0) = \ gamma}$

Notas y referencias

" Registros establecidos por y-cruncher " , en http://www.numberworld.org ,13 de marzo de 2020(consultado el 20 de abril de 2020 )
G. H. Hardy y EM Wright ( traducido del Inglés por François Sauvageot, pref. Catalina Goldstein ), Introducción a la teoría de números [ “ Una introducción a la teoría de los números ”] [ detalle de la edición ], capítulo 18 (“El orden de magnitud de las funciones aritméticas”), secciones 18.2 a 18.4.

Ver también

Bibliografía

(en) GH Hardy y EM Wright , Una Introducción a la Teoría de Números ( 1 st ed. 1938) [ detalle de las ediciones ], para fórmulas relacionadas con funciones aritméticas.
(en) Julian Havil (de) , Gamma: Explorando la constante de Euler , Princeton, PUP ,2003, 266 p. ( ISBN 0-691-09983-9 )
(en) Jeffrey Lagarias , La constante de Euler: La obra de Euler y los desarrollos modernos, 98 páginas, 258 referencias. (2013) [ leer en línea ]
Matyáš Lerch , “ Nuevas expresiones de la constante de Euler ”, Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften , vol. 42,1897
( fr ) Jonathan Sondow , “ Criterios de irracionalidad de la constante de Euler ” , Proc. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 131,2003, p. 3335-3344 ( arXiv math.NT / 0209070 )
(en) Jonathan Sondow , “ Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4 / π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas ” , Amer. Matemáticas. Mes. , vol. 112,2005, p. 61-65 ( arXiv math.CA/0211148 )
(en) Jonathan Sondow , “ Nueva serie racional de tipo Vacca para la constante de Euler y su análogo 'alterno' ln 4 / π ” , Teoría de números aditivos ,2010, p. 331-340 ( arXiv math.NT / 0508042 )
(en) HM Srivastava y Junesang Choi, Funciones Zeta y q-Zeta y Series e Integrales Asociadas , Amsterdam / Boston, Elsevier,2012( ISBN 978-0-12-385218-2 , leer en línea ) , pág. 13-22

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , “ Euler-Mascheroni Constant ” , en MathWorld
(en) "La constante de Euler γ = 0.577 ... Sus matemáticas e historia " por Stefan Krämer, de la Universidad de Göttingen
(en) Simon Plouffe , " Constantes matemáticas diversas: 170000 dígitos de Euler o gamma "