Conjetura de Herzog-Schönheim

En matemáticas , la conjetura de Herzog-Schönheim es un problema de combinatoria y teoría de grupos , cuya resolución generalizaría a cualquier grupo el teorema de Mirsky-Newman , válido para el grupo ℤ de enteros relativos .

Estados

Sea G un grupo y { a 1 G 1 ,…, a k G k } ( k > 1) una partición finita de G por clases zurdas siguiendo los subgrupos G 1 ,…, G k . Marcel Herzog y Jochanan Schönheim conjeturaron que los índices (finitos) [ G : G 1 ],…, [ G : G k ] no pueden ser todos distintos.

Grupos de pirámides

Berger, Felzenbaum y Frankel han demostrado esta conjetura en el caso en que G es un grupo “piramidal” finito , es decir que existe una secuencia de subgrupos

\ {1 \} = G_ {n} \ subconjunto G _ {{n-1}} \ subconjunto \ ldots \ subconjunto G_ {0} = G

tal que para cada k <n , el índice [ G k : G k +1 ] es el factor primo más pequeño del orden de G k (lo que implica que G k +1 es normal en G k , por lo tanto, G se puede resolver ) .

Cualquier grupo finito superesoluble es piramidal y cualquier grupo nilpotente de tipo finito es superesoluble.

Subgrupos subnormales

De manera más general, Zhi Wei Sun demostró la conjetura bajo el único supuesto de que los subgrupos G i son subnormales en G (que ya no requiere que G sea finito, y se aplica en particular a G = ℤ), y asumiendo solo que las clases a i G i forma, en lugar de una partición, un sistema "exactamente cubriente" o "uniforme", es decir que el número de estas clases a las que pertenece un elemento de G es independiente de este elemento, pero no necesariamente igual a 1.

Entre otras cosas, usa el siguiente lema básico: si G 1 ,…, G k son subgrupos subnormales de índices finitos en G , entonces

{\ bigg [} G: \ bigcap _ {{i = 1}} ^ {k} G_ {i} {\ bigg]} \ {\ bigg |} \ \ prod _ {{i = 1}} ^ {k } [G: G_ {i}].

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Conjetura de Herzog - Schönheim ” ( ver lista de autores ) .

(en) M. Herzog y J. Schönheim , " Problema de investigación nº 9 " , Can. Matemáticas. Toro. , vol. 17, n o 1,1974, p. 150 ( leer en línea )
De acuerdo con un teorema de 1954 de Bernhard Neumann , si { a 1 G 1 ,…, a k G k } forma un sistema que cubre un grupo G, entonces el subsistema correspondiente a G i de índices finitos también, como se recuerda (en) Zhi- Wei Sun , " exactos m -se refiera de clases laterales por grupos " , European J. Combin. , vol. 22, n o 3,2001, p. 415-429 ( leer en línea ).
(in) Marc A. Berger , Alexander Felzenbaum y Aviezri Fraenkel , " Observación sobre la multiplicidad de una partición de un grupo en cosets " , Fondo. Matemáticas. , vol. 128,1987, p. 139-144 ( leer en línea )
(in) Zhi-Wei Sun , " Sobre la conjetura de Herzog-Schönheim para cubiertas uniformes de grupos " , Journal of Algebra , vol. 273, n o 1,2004, p. 153-175, arXiv : matemáticas / 0306099
Sol de 2001

Ver también

(en) MA Berger , A. Felzenbaum y AS Fraenkel , “ Paralelotopos de celosía y sistemas de cobertura disjuntos ” , Matemáticas discretas. , vol. sesenta y cinco,1987, p. 23-44 ( DOI 10.1016 / 0012-365X (87) 90208-1 )