Producto tensorial de dos módulos
El producto tensorial de dos módulos es una construcción en la teoría del módulo que, a dos módulos en el mismo anillo conmutativo unificado A , asigna un módulo. El producto tensorial es muy importante en los campos de la topología algebraica y la geometría algebraica . El producto tensorial también permite reducir el estudio de aplicaciones bilineales o multilineales a aplicaciones lineales.
Introducción - aplicaciones bilineales
Cuando M , N y F son tres módulos A , llamamos a un mapa bilineal un mapa f : M × N → F , tal que:
-
f es lineal a la izquierda, es decir .∀α,β∈A,∀X,y∈METRO,∀z∈NO,F(αX+βy,z)=αF(X,z)+βF(y,z){\ Displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ in A, \ forall x, y \ in M, \ forall z \ in N, f (\ alpha x + \ beta y, z) = \ alpha f (x, z ) + \ beta f (y, z)}
-
f es lineal a la derecha, es decir .∀α,β∈A,∀X∈METRO,∀y,z∈NO,F(X,αy+βz)=αF(X,y)+βF(X,z){\ Displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ in A, \ forall x \ in M, \ forall y, z \ in N, f (x, \ alpha y + \ beta z) = \ alpha f (x, y ) + \ beta f (x, z)}
Para reducir el estudio de mapas bilineales al de mapas lineales, proponemos definir un módulo M ⊗ N y un mapa bilineal tal que cualquier mapa bilineal sea factorizado de manera única a la derecha por , es decir, qu 'hay uno y solo un mapa lineal tal que .
φ:METRO×NO→METRO⊗NO{\ Displaystyle \ varphi: M \ times N \ to M \ otimes N}F:METRO×NO→F{\ Displaystyle f: M \ times N \ to F}φ{\ Displaystyle \ varphi} gramo:METRO⊗NO→F{\ Displaystyle g: M \ otimes N \ to F}F=gramo∘φ{\ Displaystyle f = g \ circ \ varphi}
Demostraremos que tal pareja existe y es única excepto por un isomorfismo .
(METRO⊗NO,φ){\ Displaystyle (M \ otimes N, \ varphi)}
Definición
Sean M y N dos módulos A. El espacio C = A ( M × N ) es la A -módulo de combinaciones lineales formales (con coeficientes en A ) de elementos M × N . Dicho espacio también se puede definir de manera equivalente como el módulo A de asignaciones de M × N a A cero en todas partes, excepto en un número finito de elementos. Que es un A - módulo libre de la cual es la base canónica.
(mi(X,y))(X,y)∈METRO×NO{\ displaystyle (e _ {(x, y)}) _ {(x, y) \ in M \ times N}}
Queremos los elementos de la forma.
- mi(X+y,z)-mi(X,z)-mi(y,z){\ Displaystyle e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}}
- mi(X,y+z)-mi(X,y)-mi(X,z){\ Displaystyle e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}}
- mi(αX,y)-αmi(X,y){\ Displaystyle e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}
- mi(X,αy)-αmi(X,y){\ Displaystyle e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}
se identifican como nulos. Por lo tanto, llamamos D al submódulo de C generado por los elementos de la forma anterior. Se llama el producto tensorial de M y N , y se denota M ⊗ A N el cociente módulo de C / D . Es importante especificar el anillo de escalares A en la notación del producto tensorial. Sin embargo, si la situación es lo suficientemente clara, podemos permitirnos no sobrecargar las calificaciones. Nota la clase en M ⊗ A N .
X⊗y{\ Displaystyle x \ otimes y}mi(X,y){\ Displaystyle e _ {(x, y)}}
Respuesta a la pregunta original
La construcción del producto tensorial nos permite afirmar que es un mapa bilineal, que denotamos .
(X,y)↦X⊗y{\ Displaystyle (x, y) \ mapsto x \ otimes y}φ:METRO×NO→METRO⊗ANO{\ Displaystyle \ varphi: M \ times N \ to M \ otimes _ {A} N}
Demostremos que este módulo resuelve el problema de las aplicaciones bilineales planteado en la introducción. Para ello, démosle un mapa bilineal . Puesto que el módulo C es libre, definir un mapeo lineal de C a F es equivalente a la elección de los elementos de imagen de la base canónica de C . Por tanto, definimos la aplicación por:
F:METRO×NO→F{\ Displaystyle f: M \ times N \ to F}F¯{\ Displaystyle {\ overline {f}}}
∀(X,y)∈METRO×NO,F¯(mi(X,y))=F(X,y){\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in M \ times N, {\ overline {f}} (e _ {(x, y)}) = f (x, y)}Pero, el hecho de que f sea bilineal implica que:
- F¯(mi(X+y,z)-mi(X,z)-mi(y,z))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}) = 0}
- F¯(mi(X,y+z)-mi(X,y)-mi(X,z))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}) = 0}
- F¯(mi(αX,y)-αmi(X,y))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}
- F¯(mi(X,αy)-αmi(X,y))=0{\ Displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}
Entonces el submódulo D está incluido en el kernel de . Deducimos yendo al cociente que existe una aplicación tal que:
F¯{\ Displaystyle {\ overline {f}}}gramo:METRO⊗ANO=VS/D→F{\ Displaystyle g: M \ otimes _ {A} N = C / D \ to F}
F(X,y)=gramo(X⊗y)=gramo∘φ(X,y){\ Displaystyle f (x, y) = g (x \ otimes y) = g \ circ \ varphi (x, y)}Además, g es único porque los elementos del formulario generan .
X⊗y{\ Displaystyle x \ otimes y}METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}
Demostremos finalmente que es único salvo un isomorfismo, es decir que si existe un módulo H tal que:
METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}
- Existe una aplicación bilineal .φ′:METRO×NO→H{\ Displaystyle \ varphi ': M \ multiplicado por N \ a H}
- Si f : M × N → F es un mapa bilineal, existe un mapa lineal único g : H → F tal que .F=gramo∘φ′{\ Displaystyle f = g \ circ \ varphi '}
entonces H es isomorfo a .
METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}
Si es así, como es bilineal, existe una aplicación como . Asimismo, dado que es bilineal, existe una aplicación tal que . Entonces, y dado que también es un mapa lineal de en satisfacer , deducimos de la propiedad de unicidad que . Lo mismo . Por lo tanto , y son un - isomórficas módulos .
φ:METRO×NO→METRO⊗ANO{\ Displaystyle \ varphi: M \ times N \ to M \ otimes _ {A} N}tu1:H→METRO⊗ANO{\ Displaystyle u_ {1}: H \ a M \ otimes _ {A} N}φ=tu1∘φ′{\ Displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ \ varphi '}φ′:METRO×NO→H{\ Displaystyle \ varphi ': M \ multiplicado por N \ a H}tu2:METRO⊗ANO→H{\ Displaystyle u_ {2}: M \ otimes _ {A} N \ to H}φ′=tu2∘φ{\ Displaystyle \ varphi '= u_ {2} \ circ \ varphi}φ=tu1∘tu2∘φ{\ Displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ u_ {2} \ circ \ varphi}ID{\ ID de estilo de pantalla}METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}φ=ID∘φ{\ Displaystyle \ varphi = id \ circ \ varphi}tu1∘tu2=ID{\ Displaystyle u_ {1} \ circ u_ {2} = id}tu2∘tu1=ID{\ Displaystyle u_ {2} \ circ u_ {1} = id}METRO⊗ANO{\ Displaystyle M \ otimes _ {A} N}H{\ Displaystyle H}
Nota: en el módulo de cociente M ⊗ N , la imagen de M × N es un cono .
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Si los dos módulos A M y N son libres (por ejemplo, si el anillo conmutativo A es un campo y M , N dos espacios vectoriales en este campo) entonces su producto tensorial es libre: si ( m i ) i y ( n j ) j son bases respectivas de M y N , una base de M ⊗ A N es ( m i ⊗ n j ) ( i , j ) .
En particular, el producto tensorial de dos espacios vectoriales M y N tiene una dimensión dim ( M ) × dim ( N ).
Por ejemplo, el complexificado (in) de un espacio vectorial real E (caso especial de extensión de escalares ), que es por definición el espacio vectorial complejo ℂ⊗ ℝ E , tiene, visto como espacio vectorial real, una dimensión doble de la de E : cualquier vector de ℂ⊗ ℝ E es la suma de un producto tensorial de 1 por un vector de E y de i por otro vector de E y si ( e j ) j es una base de E (en ℝ), entonces una base en ℝ de ℂ⊗ ℝ E está formado por 1⊗ e j e i ⊗ e j (mientras que una base en ℂ de ℂ⊗ ℝ E es (1⊗ e j ) j ).
Generalización a un producto terminado de módulos
Lo que se ha hecho anteriormente se puede generalizar fácilmente a aplicaciones multilineales. O E 1 , ..., E n de módulos A. Consideramos el módulo del producto E = E 1 ×… × E n . Un mapa f : E → F se dice que es n lineal si
Cualquiera que sea el índice iy los n - 1 elementos , el mapa parcial es lineal.
Xk∈mik(k≠I){\ Displaystyle x_ {k} \ in E_ {k} (k \ neq i)}XI↦F(X1,...,XI-1,XI,XI+1,...,Xno){\ Displaystyle x_ {i} \ mapsto f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ dots, x_ {n})}Existe un módulo A que denotamos y un mapa lineal n de E de tal manera que para cualquier mapa lineal n de E en un módulo de llegada F , existe un mapa lineal único tal que .
⨂I=1nomiI{\ Displaystyle \ fanatismos _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}φ:(X1,...,Xno)↦X1⊗X2⊗⋯⊗Xno{\ Displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}}⨂I=1nomiI{\ Displaystyle \ fanatismos _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}gramo:⨂I=1nomiI→F{\ Displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ to F}F=gramo∘φ{\ Displaystyle f = g \ circ \ varphi}
De hecho, el producto tensorial de dos módulos es asociativo en el siguiente sentido: si E , F , G son tres módulos A , entonces los módulos ( E ⊗ A F ) ⊗ A G , E ⊗ A (F ⊗ A G ) y E ⊗ A F ⊗ A G son isomorfos.
Idioma de la categoría
Para módulos A fijos E 1 ,…, E n , los mapas multilineales , donde F atraviesa los módulos A , son los objetos de una categoría , siendo un morfismo del objeto al objeto un mapa lineal h de F en G tal eso . En el lenguaje de las categorías, la propiedad indicada anteriormente del mapa de en , es decir, que para cualquier mapa n- lineal de en un módulo de llegada F , existe un mapa lineal único tal que , equivale a decir que es un objeto inicial del categoría en cuestión, o nuevamente: que el functor covariante que a cualquier módulo F asocia el módulo de mapeos multilineales está representado por .
mi1×⋯×mino→F{\ Displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow F} F:mi1×⋯×mino→F{\ Displaystyle \ f: E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow F} gramo:mi1×⋯×mino→GRAMO{\ Displaystyle \ g: E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow G} gramo=h∘F{\ Displaystyle \ g = h \ circ f}φ:(X1,...,Xno)↦X1⊗X2⊗⋯⊗Xno{\ Displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}} mi1×⋯×mino{\ Displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n}}⨂I=1nomiI{\ Displaystyle \ fanatismos _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}} mi1×⋯×mino{\ Displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n}}gramo:⨂I=1nomiI→F{\ Displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ to F}F=gramo∘φ{\ Displaystyle f = g \ circ \ varphi}φ{\ Displaystyle \ varphi}mi1×...×mino→F{\ Displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {n} \ to F}⨂I=1nomiI{\ Displaystyle \ fanatismos _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}
Además, para un módulo A fijo N , los datos de un mapa bilineal de M × N en F son equivalentes a los de un mapa lineal de M en el módulo Hom ( N , F ) de los mapas lineales de N en F , de modo que el funtor - ⊗ N está adjunto a la izquierda del funtor Hom ( N , -), es decir, tenemos un isomorfismo natural:
Hometro(METRO⊗NO,F)≃Hometro(METRO,Hometro(NO,F)).{\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (M \ otimes N, F) \ simeq \ mathrm {Hom} (M, \ mathrm {Hom} (N, F)).}
Notas y referencias
-
Serge Lang , Álgebra [ detalle de ediciones ], 3 e ed., París, Dunod, 2004, pág. 618-620.
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