Categoría grupoide

En matemáticas , y más particularmente en teoría de categorías y topología algebraica , la noción de grupoide generaliza al mismo tiempo las nociones de grupo , de relación de equivalencia en un conjunto y de la acción de un grupo en un conjunto. Fue desarrollado originalmente por Heinrich Brandt (en) en 1927.

Los grupoides se utilizan a menudo para representar cierta información sobre objetos topológicos o geométricos , como variedades .

Definiciones

Definición en el sentido de categorías

Un grupoide es una categoría pequeña en la que cualquier morfismo es un isomorfismo .

Definición algebraica

Un grupoide G es un conjunto dotado de dos operaciones: una ley de composición parcialmente definida y un mapa (definido en todas partes) , que satisfacen las siguientes tres condiciones en los elementos f, gyh de G: $*$ $. ^ {{- 1}}$

siempre que y se definen simultáneamente, entonces y también se definen, y son iguales, las denotamos o . Por el contrario, si se define o , es lo mismo para y ; $joder$ $g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $fgh$ $f * g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $joder$ $g * h$
$f ^ {{- 1}} * f$ y siempre están definidos (pero posiblemente diferentes); $f * f ^ {{- 1}}$
siempre que se define, entonces , y . (Estas expresiones están bien definidas según los axiomas anteriores). $joder$ $f * g * g ^ {{- 1}} = f$ $f ^ {{- 1}} * f * g = g$

Luego mostramos que:

entonces entonces . Basta marcar a la derecha por ; $x * f = u * f$ $x = u$ $f ^ {- 1}$
entonces entonces . Basta marcar a la izquierda por ; $f * y = f * v$ $y = v$ $f ^ {- 1}$
$(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = f$ . De hecho , $(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{ -1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f = f$
si se define, lo mismo ocurre con , y . De hecho, por lo tanto , ¿qué es suficiente para garantizar la existencia de . Por cierto, y basta con simplificar a la izquierda , y . $joder$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} = (f * g) ^ {{- 1}}$ $f = f * g * g ^ {{- 1}}$ $f * f ^ {{- 1}} = f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {{- 1}} * f * g * (f * g) ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{ -1}} = f ^ {{- 1}} * f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {- 1}$ $F$ $gramo$

Vínculo entre los dos conceptos

Con un groupoid en el sentido de categorías, podemos asociar el groupoid en el sentido algebraico de (iso) morfismos de esta categoría.

Por el contrario, si G es un grupoide en el sentido algebraico, podemos asociarlo con un grupoide en el sentido de categorías como sigue. Los objetos de la categoría asociada son cuando varía (notamos que estos elementos marcan :) . El conjunto de morfismos x → y, indicado , es el conjunto de h tal que está definido (este conjunto puede estar vacío). $x = f ^ {{- 1}} * f$ $F$ $x ^ {{- 1}} = x = x ^ {n}$ $G (f ^ {{- 1}} * f, g ^ {{- 1}} * g) = G (x, y)$ $y * h * x$

Ejemplos de

Los grupos son grupoides (con un solo objeto y para un conjunto de flechas (morfismos) ). $X$ $G (x, x) = G$
El groupoid de Poincaré es un groupoid.
Cualquier unión disjunta de grupos es un grupoide, del cual el conjunto de objetos es el conjunto de índices. $\ bigsqcup _ {{i \ in I}} G_ {i}$ $I$
A partir de una acción de grupo, podemos definir un grupoide estableciendo G (x, y) = el conjunto de elementos del grupo que envían xay.

Propiedades

Los ( pequeños ) grupoides en sí mismos forman una categoría, siendo los morfismos los functores entre los grupoides. El grupoide inicial es el grupoide vacío y el grupoide final es el grupo trivial .

Sea G un grupoide, definimos la relación de equivalencia si G (x, y) no está vacío. Define un cociente grupoide anotado . define un funtor ( componentes conectados ) desde la categoría de grupoides a la categoría de conjuntos. $x \ equiv {} \, y$ $\ pi _ {0} (G)$ $\ pi_0$

Sea G un grupoide y un objeto de G (también decimos un punto de G). La ley de composición entre las flechas restringida a este subgrupo es una ley de grupo. Observamos este grupo. $X$ $G (x, x)$ $\ pi _ {1} (G, x)$

Notas y referencias

(De) H. Brandt , “ Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes ” , Mathematische Annalen , vol. 96,1927, p. 360-366 ( leer en línea ).

(es) Ronald Brown , Topología y grupos , BookSurge,2006, 3 e ed. , 512 p. ( ISBN 978-1-4196-2722-4 )