Categoría de relación

En matemáticas , más precisamente en la teoría de categorías , la categoría de relaciones , denotada por Rel , es la categoría cuyos objetos son los conjuntos y cuyos morfismos son las relaciones binarias entre estos conjuntos.

La composición de dos relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C viene dada por

( A , C ) ∈ S o R ⇔ ∃ b ∈ B , ( un , b ) ∈ R y ( b , c ) ∈ S .

Propiedades generales

Rel es isomorfo a Rel op , de hecho, sólo se puede asociar con cualquier relación su relación recíproca .

producto cartesiano

Rel es una categoría cartesiana :

El objeto terminal es el conjunto vacío.
El producto cartesiano para una familia viene dado por: ${\ Displaystyle (E_ {i}) _ {i \ in I}}$

ΠI∈ImiI=∪I∈I({I}×miI){\ Displaystyle \ Pi _ {i \ in I} E_ {i} = \ cup _ {i \ in I} (\ {i \} \ times E_ {i})} ${\ Displaystyle \ Pi _ {i \ in I} E_ {i} = \ cup _ {i \ in I} (\ {i \} \ times E_ {i})}$ Las proyecciones están dadas por:

πI : ΠI∈ImiI→miIπI={((I,mi),mi) | mi∈miI}{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ pi _ {i} \: \ \ Pi _ {i \ in I} E_ {i} \ to E_ {i} \\ & \ pi _ {i} = \ { ((i, e), e) \ | \ e \ en E_ {i} \} \ end {alineado}}} ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ pi _ {i} \: \ \ Pi _ {i \ in I} E_ {i} \ to E_ {i} \\ & \ pi _ {i} = \ { ((i, e), e) \ | \ e \ en E_ {i} \} \ end {alineado}}}$

Referencias

S. Mac Lane , Categorías para el matemático que trabaja , Nueva York, Springer-Verlag,1988, 1ª ed. ( ISBN 0-387-90035-7 ) , pág. 26
Awodey, Steve, 1959- , Teoría de categorías , Oxford University Press,2010( ISBN 978-0-19-155324-0 y 0-19-155324-7 , OCLC 740446073 , leer en línea )