Cono de revolución

El cono circular recto o cono de revolución es una superficie generada por la revolución de una línea secante a un eje fijo alrededor de esta última. Este es un caso especial de cono .

El sólido delimitado por un semicono y dos planos perpendiculares a su eje de revolución se denomina cono truncado.

Los ahusados forman una familia muy utilizada de curvas planas algebraicas que resultan de la intersección de un plano con un cono de revolución.

Ecuaciones y parametrización

En un sistema de coordenadas del espacio ortonormal , el cono generado por la rotación de una línea que pasa por O alrededor del eje ( Oz ) es el conjunto de puntos con coordenadas cilíndricas  : (ρ,θ,z){\ Displaystyle (\ rho, \ theta, z)}

ρ=zbroncearse⁡ϕ{\ Displaystyle \ rho = z \ tan \ phi}

donde es el ángulo entre la línea y el eje (medio ángulo en la parte superior del cono). ϕ{\ Displaystyle \ phi}

Deducimos la ecuación en coordenadas cartesianas  : (X,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}

X2+y2=z2broncearse2⁡ϕ{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \ tan ^ {2} \ phi}

Y parametrización: . {X=tuporque⁡vy=tupecado⁡vz=tucosto⁡ϕ{\ Displaystyle \ qquad {\ begin {cases} x = u \ cos v \\ y = u \ sin v \\ z = u \ cot \ phi \ end {cases}} \ quad}

Áreas y volúmenes asociados

Área lateral y volumen de un cono truncado

Área lateral y volumen del cono sólido (cono truncado delimitado por un semicono y un plano a una distancia h del vértice que interseca el cono a lo largo de un círculo de radio r )

A=πrR=πrr2+h2,{\ Displaystyle A = \ pi rR = \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}},}V=π3r2h.{\ Displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} r ^ {2} h.}

En el caso general, si los dos planos distantes de h intersecan el cono a lo largo de dos círculos de radio r 1 y r 2 , el área lateral y el volumen son iguales a:

A=π(r1+r2)(r1-r2)2+h2=π(r1+r2)S{\ Displaystyle A = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) {\ sqrt {(r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} + h ^ {2}}} = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) S}

Relaciones entre el cono truncado y su patrón

El cono truncado de altura hy radio de base r tiene como patrón plano un disco de radio R en el que se ha cortado un sector de esquina .θ{\ Displaystyle \ theta} La relación entre R, R y entonces: . Al eliminar r entre esta relación y obtenemos: .θ{\ Displaystyle \ theta}Rr=2π2π-θ{\ Displaystyle {\ frac {R} {r}} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi - \ theta}}}R2=r2+h2{\ Displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} + h ^ {2}}h=Rθ2π(2-θ2π){\ Displaystyle h = R {\ sqrt {{\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ left (2 - {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ right)}}} La relación entre y es: .θ{\ Displaystyle \ theta}ϕ{\ Displaystyle \ phi}θ=2π(1-pecado⁡ϕ){\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi (1- \ sin \ phi)}

Cono truncado de volumen máximo para un radio de patrón dado

De la fórmula , obtenemos que se obtiene el volumen máximo en R fijado para . V=π3(R2-h2)h{\ Displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} (R ^ {2} -h ^ {2}) h}h=R/3{\ Displaystyle h = R / {\ sqrt {3}}}

Por tanto , vale el volumen máximo , el semiángulo en la parte superior (ver continuación A195695 de la OEIS ) y el ángulo en el centro del sector del disco . 2π273R2{\ Displaystyle {\ frac {2 \ pi} {27}} {\ sqrt {3}} R ^ {2}}ϕ=arctan⁡(1/2)≈35∘dieciséis′{\ Displaystyle \ phi = \ arctan {(1 / {\ sqrt {2}})} \ approx 35 ^ {\ circ} 16 '}θ=2π(1-23)≈66∘4′{\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ right) \ approx 66 ^ {\ circ} 4 '}

Notas y referencias

1. GIECK, forma técnica , 10 ª edición, 1997 C2
2. (en) John D. Barrow, "  Outer space: Archimedean ice cream cones  " en plus.math.org (consultado el 7 de agosto de 2017 )

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