Ángulo dorado
El ángulo dorado es un ángulo igual a multiplicado por el ángulo plano, es decir , aproximadamente 137,51 °. Está relacionado con la proporción áurea .
(3-5){\ Displaystyle (3 - {\ sqrt {5}})}![{\ Displaystyle (3 - {\ sqrt {5}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfc7305d4e0979e351531f6a5d6967c67fba907)
Definiciones
En geometría
En geometría , el ángulo de oro es el ángulo subtendido por el menor de los dos arcos creadas al dividir la circunferencia c de un círculo en dos secciones cuyas longitudes a y b están en una proporción igual a la cantidad d 'o φ .
En consecuencia:
vs=a+B{\ Displaystyle c = a + b \,}
aB=vsa=φ=1+52=φ2-1{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {a}} = \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = {\ varphi } ^ {2} -1}![{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {a}} = \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = {\ varphi } ^ {2} -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4197bc0686d3cfeec62d439accc8211a5d2dc2)
El ángulo áureo, subtendido por el arco de un círculo b , mide en radianes :
- θ1=2πφ2=2π(1-1φ)=π(3-5)=2,39996323 ...{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2}}} = {2 \ pi} (1 - {\ frac {1} {\ varphi}}) = \ pi (3 - {\ sqrt {5}}) = 2,39996323 ...}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2}}} = {2 \ pi} (1 - {\ frac {1} {\ varphi}}) = \ pi (3 - {\ sqrt {5}}) = 2,39996323 ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae21913dabbb306235b6cebcf9b35398b33e83de)
Demostración
Dado que el arco intersecado por este ángulo y la circunferencia del círculo son proporcionales:
- θ1/B=2π/vs{\ Displaystyle \ theta _ {1} / b = {2 \ pi} / c}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} / b = {2 \ pi} / c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d663d955179fe9436bdfb631a23f348db7c88d11)
- θ1=2πB/vs{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} b / c}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} b / c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de16a84036286f89afd3fabb6bdb84ce90ef7948)
- θ1=2πB/(a+B){\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} b / (a + b)}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} b / (a + b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75d49a9fea3585751bc27edb208605ccce6e2ed)
- θ1=2π/(a/B+1){\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / (a / b + 1)}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / (a / b + 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac5dcd9162d1d6ca1e043ba7850a10dcc484903)
- θ1=2π/(φ+1)=2πφ-1(φ+1)(φ-1)=2πφ-1(φ2-1)=2π(1-1/φ)=2π(1-21+5)=2π(1+1-52)=π(3-5){\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / ({\ varphi} +1) = {2 \ pi} {\ frac {{\ varphi} -1} {({\ varphi} +1) ({\ varphi} -1)}} = {2 \ pi} {\ frac {{\ varphi} -1} {({\ varphi} ^ {2} -1)}} = {2 \ pi} (1 -1 / {\ varphi}) = {2 \ pi} (1 - {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}}) = {2 \ pi} (1 + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}) = \ pi (3 - {\ sqrt {5}})}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / ({\ varphi} +1) = {2 \ pi} {\ frac {{\ varphi} -1} {({\ varphi} +1) ({\ varphi} -1)}} = {2 \ pi} {\ frac {{\ varphi} -1} {({\ varphi} ^ {2} -1)}} = {2 \ pi} (1 -1 / {\ varphi}) = {2 \ pi} (1 - {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}}) = {2 \ pi} (1 + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}) = \ pi (3 - {\ sqrt {5}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c836eee2fa167aa7bb4b8c3f9724bc750db9a8)
- θ1=2π/φ2{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / {\ varphi} ^ {2}}
![{\ Displaystyle \ theta _ {1} = {2 \ pi} / {\ varphi} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dd2f37d7b1c08cf682e2cf490425938a4c9a31)
Mide en grados:
-
360φ2=180(3-5)=137,5077641 ...{\ Displaystyle {\ frac {360} {\ varphi ^ {2}}} = 180 (3 - {\ sqrt {5}}) = 137,5077641 ...}
o 137 ° 30 ′ 27.9505 ″
El ángulo de entrada de oro , subtendido por el arco , tiene , medido en radianes:
- θ2=2π-θ1=2πφ=π(5-1)=3,88322207 ...{\ Displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ pi - \ theta _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi}} = \ pi ({\ sqrt {5}} - 1) = 3 , 88322207 ...}
![{\ Displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ pi - \ theta _ {1} = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi}} = \ pi ({\ sqrt {5}} - 1) = 3 , 88322207 ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fbd164d45830590feaf4c1aad05b42b3815a60)
Mide en grados:
-
360φ=180(5-1)=222,492236 ...{\ Displaystyle {\ frac {360} {\ varphi}} = 180 ({\ sqrt {5}} - 1) = 222,492236 ...}
o 222 ° 29 ′ 32.0494 ″
En la naturaleza
Encontramos este ángulo varias veces en la naturaleza. Por ejemplo, las escamas de las piñas o las flores del girasol están dispuestas a lo largo de espirales logarítmicas , dos escamas o flores sucesivas que forman un ángulo dorado con el centro de la espiral. Entonces aparecen espirales secundarias, cuyo número es siempre un elemento de la secuencia de Fibonacci . Stéphane Durand explica que esta disposición corresponde a la optimización de la ocupación del espacio en el plan. Hay relatos detallados de este fenómeno.
En imágenes médicas
La imagen por resonancia magnética (IRM) utiliza varios métodos de muestreo . Uno de ellos, radial con un incremento de un valor llamado "ángulo dorado", usa el valor 111.25 °
Propiedad de los múltiplos fibonacciales del ángulo áureo
Según la fórmula de Binet que expresa números de Fibonacci : donde , tenemos cuando n tiende a infinito.
Fno=φno-ψno5{\ Displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - \ psi ^ {n}} {\ sqrt {5}}}}
ψ=-1/φ{\ Displaystyle \ psi = -1 / \ varphi}
Fnoφ-Fno-1∼ψno-15⟶0{\ Displaystyle {F_ {n} \ over {\ varphi}} - F_ {n-1} \ sim {\ psi ^ {n-1} \ over {\ sqrt {5}}} \ longrightarrow 0}![{\ Displaystyle {F_ {n} \ over {\ varphi}} - F_ {n-1} \ sim {\ psi ^ {n-1} \ over {\ sqrt {5}}} \ longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5858722c10902a89764765e5704257b3ea4addd)
Deducimos que tiende hacia 0 y que por tanto los múltiplos sucesivos del ángulo áureo que entran por los números de Fibonacci tienden hacia el ángulo cero (y lo mismo para el ángulo áureo (saliente)) .
Fnoθ2-Fno-1.2π{\ Displaystyle F_ {n} \ theta _ {2} -F_ {n-1} .2 \ pi}![{\ Displaystyle F_ {n} \ theta _ {2} -F_ {n-1} .2 \ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa95bbb603e91b40f3c8b080f804cffe4ce658a2)
Referencias
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H Vogel , " Una mejor manera de construir la cabeza de girasol ", Biociencias matemáticas , vol. 44, n o 44,1979, p. 179–189 ( DOI 10.1016 / 0025-5564 (79) 90080-4 )
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(en) Lisa Zyga, " Los científicos encuentran pistas sobre la formación de espirales de Fibonacci en especie " en PhysOrg ,1 st de mayo de de 2007
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" ¿Por qué las semillas de girasol hacen 21 curvas en una dirección y 34 en la otra?" » , En crm.umontreal.ca , año 2000 (consultado el 25 de febrero de 2018 )
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Anne-Marie Aebischer y Françoise de Labachelerie, " ¿Las plantas hacen matemáticas?" », IREM de Franche-Comté ,22 de marzo de 2013, p. 1-8 ( leer en línea )
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(in) Mr Magnusson, O. Dahlqvist Leinhard y P. Lundberg, " MUESTREO 3D-PLUS-RADIAL-TIME DEL ESPACIO HÍBRIDO CARTESIANO-K CON ALTA RESOLUCIÓN TEMPORAL Y MANTENIDO PARA LA CALIDAD DE IMAGEN Y RMF MRI " , Proc. Intl. Soc. revista Reson. Medicina. ,2011( leer en línea )
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(in) M Magnusson, " MUESTREO 3D-PLUS-RADIAL-TIME DEL ESPACIO HÍBRIDO CARTESIANO-K CON ALTA RESOLUCIÓN TEMPORAL Y MANTENIDO PARA LA CALIDAD DE IMAGEN Y MRI FMRI " , Proc. Intl. Soc. revista Reson. Medicina. ,2011
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